圆的方程（二） 人教必修
教学目的：
1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；
3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；
4．渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新、勇于探索.
教学重点：圆的一般方程
的形式特征.
教学难点：对圆的一般方程的认识.直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）.
授课类型：新授课.
课时安排：1课时.
教具：多媒体、实物投影仪.
内容分析：
遵循从特殊到一般的原则，在学习圆的标准方程的基础上，再过渡到学圆的一般也就不难，它们可以通过形式上的互相转化而解决.直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）.由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F，对它的理解带来一定的困难，因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用.突破难点的关键是抓住一般方程的特点，把握住求圆的方程的两个基本要素：圆心坐标和半径.
本节为第二课时讲解圆的一般方程.
教学过程：
一、复习引入：
1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.
2．求曲线方程的一般步骤为：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件p的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程.)
（3）用坐标表示条件p（M），列出方程
;
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明.)
3．建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程.
4.圆的标准方程：
圆心为
，半径为…，
若圆心在坐标原点上，这时
，则圆的方程就是
.
5．圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径.
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要
三个量确定了且…＞0，圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件.确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决.
二、讲解新课：
圆的一般方程： 将圆的标准方程的展开式为：
.
取
得
①
再将上方程配方，得
②
不难看出，此方程与圆的标准方程的关系
（1）当
时，表示以（-
，-
）为圆心,
为半径的圆；
（2）当
时，方程只有实数解
，
，即只表示一个点（-，-）;
（3）当
时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆.
只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程.
圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而 一般方程突出了方程形式上的特点：
（1）…和
的系数相同，且不等于0；
（2）没有…这样的二次项.
但要注意：以上两点是二元二次方程
表示圆的必要条件，但不是充分条.
看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数
就可以了.
三、讲解范例：
例1求过三点
的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.
解：设所求的圆的方程为：
∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
.
∴所求圆的方程为：
.
；
.
得圆心坐标为（4，-3）.
或将左边配方化为圆的标准方程，
,从而求出圆的半径
，圆心坐标为(4,-3) .
例2已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为
的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出.
解：在给定的坐标系里，设点
是曲线上的任意一点，也就是点属于集合
.
即
,
整理得：
所求曲线方程即为：.
将其左边配方，得
.
∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示 .
例3求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆
和
的交点的圆的方程.
解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为
则其圆心坐标为
.
∵所求圆的圆心在直线
上，
∴
.
∴所求圆的方程为
.
说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程.
例4如图，已知定点A(2，0)，点Q是圆
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.
解：由三角形的内角平分线性质，得
，∴
.
设M、Q的坐标分别为
、
，则
∵Q在圆上，∴
＝１，
∴
.
∴动点M的轨迹方程为
.
说明：注意三角形内角平分线性质的应用.
四、小结：
1．对方程
的讨论(什么时候可以表示圆) .
2．方程表示一个圆的充要条件.
3．与标准方程的互化.
4．用待定系数法求圆的方程.
5．圆与圆的位置关系.
五、课后作业：
补充：若实数x、y满足等式
，那么
的最大值为()
A.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
.
解：∵实数
满足
，
∵()是圆上的点，记为p，
∵是直线Op的斜率，记为.
∴Op:
,代入圆方程，消去 ，得
.
直线Op与圆有公共点的充要条件是
≥0,
∴
，所以，选Ｄ
六、板书设计（略）
七、课后记：
中考 高考名著
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