异面直线和两个向量的夹角 人教选修

异面直线和两个向量的夹角

[教材分析]本节课主要内容包括两条异面直线的概念，异面直线判定定理，两条异面直线所成的角的概念及求法，两个向量的夹角的概念及求法。两条异面直线所成的角是表示两条异面直线相互位置的一个量。它通过与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角（或直角）来度量，体现了立体几何中重要的“化归”（化空间为平面）思想方法。两个向量的夹角是平面向量夹角定义的推广。这两部分内容也是今后讨论线面所成的角、二面角，研究线线垂直、线面垂直、三垂线定理的基础。

[教学目标]

1、认知目标：使学生初步理解掌握两条异面直线所成的角和两个向量的夹角的概念及常用求法。

2、能力目标：理解两条异面直线所成的角的构造性定义的合理性与唯一性，并能初步掌握定义来求解两条异面直线所成的角和两个向量的夹角。

3、情意目标：培养学生的空间想象能力，让学生掌握立体几何学习的基本规律，激发学生的学习兴趣，使学生品尝成功的喜悦。

[教学重点和难点]两条异面直线所成的角的定义；过空间点O作两直线与异面直线分别平行，点O的任意性理解；求两条异面直线所成的角时点O的选取及平行直线的作法；求两个向量的夹角时“同起点”的要求。

[教学过程]

一、实例引入，导出定义

（图1） （图2）

1、教师提问：正方体中的各条棱所在直线的位置关系有哪几种？（平行、相交、既不平行也不相交三种关系）（图1）

2、导出异面直线定义：

把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

3、空间直线的三种位置关系（表格）

二、强化定义，揭示定理

1、判断题（练习）

2、异面直线判定定理：

过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该

点的直线是异面直线。（图2）

三、提出问题，引入夹角

1、提出问题：对于平面内的两条相交直线，用夹角来度量其位置关系。那么对于两条异面直线，如何来表示各自的位置关系呢？

2、异面直线所成的角（或夹角）（图3）

已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O，分别作直线

a1∥a，b1∥b，把a1与b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b所成的角或夹角。

（图3）

注意：（1）O的任意性；

（2）两异面直线所成的角的取值范围

（3）两异面直线垂直。

4、例子：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：（图4）

1.哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？

2.异面直线BA1与CC1所成的角。

3.异面直线BA1与DC1所成的角。

4.异面直线BA1与CB1所成的角。

5.哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？

（图4） （图6）

四、复习旧知，推广知识

1.复习平面两个向量的夹角定义：

已知两个非零向量和，作=，=，则∠AOB就叫做向量与的夹角。记作〈，〉。

（图5）

2.推广：空间两个向量的夹角的定义。（图5）

已知两个非零向量和，在空间任取一点O，作=，

=，则角∠AOB叫做向量与的夹角。记作〈，〉。

3、0≤〈，〉≤。

4、〈，〉=90°时，与垂直，记作⊥。

5、例子：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：（图6）

（1）与（2）与（3）与

（4）与 （5）与 （6）与

五、练习反馈，深化总结

1.学生练习：

2.小结：

（1）基本内容 （2）思想方法 （3）深化知识

3、作业：课本p139练习A：4；p140练习B：3,4。