相互独立事件 人教选修

1．中国福利彩票，是由01、02、03、…、30、31这31个数字组成的，买彩票时可以在这31个数字中任意选择其中的7个，如果与计算机随机摇出的7个数字都一样（不考虑顺序），则获一等奖。若有甲、乙两名同学前去抽奖，则他们均获一等奖的概率是多少？

（1）如果在甲中一等奖后乙去买彩票，则也中一等奖的概率为多少？（p= ）

（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，则乙中一等奖的概率为多少？（p= ）

2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。

（1）若第1次取出的球不放回去，求事件B发生的概率；

（如果事件A发生，则p（B）= ；如果事件B不发生，则p（B）= ）

（2）若第1次取出的球仍放回去，求事件B发生的概率。

（如果事件A发生，则p（B）= ；如果事件B不发生，则p（B）= ）

相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

【思考】在问题2中，若设第1次取出的球是黑球叫做事件C，第2次取出的球是黑球叫做事件D，则：事件A与C、A与D、C与D等是否为相互独立事件，为什么？这个结论说明什么？

（如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与 、 与B、 与 都是相互独立事件）。

（二）相互独立事件同时发生的概率

问题：甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有1个白球，3个黑球；从这两个坛子中分别摸出1个球，假设每一个球被摸出的可能性都相等。问：

（1）它们都是白球的概率是多少？

（2）它们都是黑球的概率是多少？

（3）甲坛子中摸出白球，乙坛子中摸出黑球的概率是多少？

1．温故知新：因为每一个球被摸出的可能性都相等，所以 “从甲、乙两个坛子中分别摸出1个球，它们都是白球” 这个事件是一个等可能事件。那么，什么是等可能事件，它的概率如何计算呢？

2．解决问题：（1）显然，一次试验中可能出现的结果有n= =20个,而这个事件包含的结果有m= =3,根据等可能事件的概率计算公式得：p1= 。

（2）同（1）可得：p2= 。

（3）同理：p3= ；

3．深入研究：设“从甲坛子中摸出一个球是白球”叫做事件A，“从乙坛子中摸出一个球是白球”叫做事件B； 由等可能事件的概率计算公式可得：

p(A)= = , p(B)= = .

显然“从甲坛子中摸出一个球是黑球”是事件A的对立事件 ，“从乙坛子中摸出一个球是黑球”是事件B的对立事件 。同样可得：

p（ ）= = ，p( )= = .

【思考】①p1 、p2 、p3之间有何关系？这个关系说明什么问题？

②p1与p(A) 、p(B)有何关系？p2 、p3与又p(A) 、p(B)或p（ ）、p( )有何关系呢？

③根据以上问题，你能否归纳出一般的结论？

4．归纳结论：

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B同时发生记作A·B，则有

p（A·B）= p（A）·p（B）

推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：

p（A1·A2·…·An）= p（A1）·p（A2）·…·p(An)

三、深刻理解：

1．互斥事件与相互独立事件有何区别？

两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。

2．下列各对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？为什么？

（1）“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一枚骰子，向上的面是2点”；

（2）“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”；

（3）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中任意取出1个球，得到白球”与“从中任意取出1个球，得到黑球”；

（4）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中任意取出1个球，得到白球”与“在剩下的4个球中，任意取出1个球，得到黑球”。

3．已知A、B是两个相互独立事件，p（A）、p（B）分别表示它们发生的概率，则：1-p（A）·p（B）是下列那个事件的概率

A．事件A、B同时发生； B．事件A、B至少有一个发生；

C．事件A、B至多有一个发生； D．事件A、B都不发生；

四、熟练应用

【例】甲、乙2人各进行一次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，且相互之间没有影响，计算：

（1）2人都击中目标的概率；

（2）2人都没有击中目标的概率；

解：（1）p=0.6 0.6=0.36；

（2）p=（1-0.6） （1-0.6）=0.16；