椭圆第一定义的教学 人教选修
概念教学是课堂教学的一个重要组成部分.心理学实践研究表明：学生可以通过概念的形成和概念的同化两种方式来掌握概念.概念的形成是从大量例证出发，在实际经验过的概念例证当中，通过归纳的方法概括抽象出一类事物的共同特征，故概念的形成属发现学习.美国哈佛大学认知研究中心主任布鲁纳赞同发现学习法，强调学生应用归纳的方式进行探索，应从具体事实中去发现概括结论、发现总结规律，并在这一过程中掌握学习方法，培养智力和能力.
本人是从概念的形成这种发现学习方式来向学生传授椭圆第一定义的.
一、通过复习旧知识，引导启发学生类比探索引入新知识，归纳总结出椭圆第一定义.
1.首先复习圆的定义（用提问的形式），并用一段无弹性的绳子在黑板上作几个圆心位置不同、半径不同的圆，强调到定点的距离等于定长的轨迹叫圆.为下一步的类比作铺垫.
2．设想定点由一个变为两个，且更换命题：到两定点的距离和为定值，结果又怎样？能否借肋手中的绳子和圆规把命题叙述的这一过程表达出来.
3．实例操作：引导学生将一根无弹性的绳子系在圆规两脚下端，用粉笔套住绳子，在黑板上移动粉笔，可画出一个封闭的几何曲线，改变圆规相对位置，再画出几个这样的封闭曲线.点题：这就是我们要学习的一类新曲线——椭圆.
4．引导学生从实例操作中总结抽象出椭圆的定义.
提问1：在作同一曲线图的过程中，圆规两脚末端相对位置变没变？
结论1：圆规两脚末端F1、F2为定点.
提问2：在作图过程中绳子长度变没变？
结论2：动点p到两定点F1、F2的距离之和为定值.
提问3：要使粉笔套上绳子时能移动，绳子长度与两定点距离大小关系怎样？
结论3：定值大于两定点之间的距离.
提问4：绳子的长度和两定点之间的距离还有哪些情况？
引导学生思索后，得
结论4：当定值等于两定点的距离时，轨迹为以两定点为端点的线段；当定值小于两定点之间的距离时，轨迹不存在.
归纳总结出椭圆的第一定义：
在平面上到定点F1、F2的距离和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.
像这样在椭圆第一定义的引入及归纳总结过程中，强调了学生在学习中的理解作用，提倡学生积极思维，主动探索，发现问题并逐步小结，在师生思维活动的同频共振过程中逐步把椭圆的第一定义抽象出来.
二、分层分析椭圆的第一定义，加深记忆理解
把以上探索分析过程中的结论分层板书于黑板上.
层次1：椭圆为平面几何图形.
层次2：F1、F2为两个定点（相对位置）.
层次3：动点p到定点的距离之和2a是定值.
层次4：定值2a大于两定点的距离|F1F2|.
层次5：当2a=|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在.
三、突出新旧知识的联系，注重知识的综合贯通，写出椭圆第一定义的各种表达形式，培养学生思维的广阔性
椭圆除可用方程形式表示外，还有其他表达形式：
1.几何形式.F1、F2为定点，p为动点，|pF1|＋|pF2|=2a(定值)>|F1F2|.
2.复数形式.z1、z2已知，z未知，|z－z1|＋|z－z2|=定值（2a）>|z1－z2|.
3.三角形式.△ABC中，sinA＋sinC=λsinB(λ>1,边长b为定值或sinB为定值).
4.数列形式.在“3”中，取λ=2，则
（1）△ABC中，a,b,c成等差数列；
（2）△ABC中，sinA,sinB,sinC成等差数列.
四、引进参变量，正确灵活地运用含参数的变式来揭示定义的本质属性.
F1、F2是平面上两定点，p是动点，|pF1|＋|pF2|=λ|F1F2|，当0<λ<1时，轨迹不存在；λ=1时，轨迹为线段F1F2；λ>1时轨迹为椭圆.其他形式似引进参变量，课后自己讨论.
五、比较
比较圆与椭圆这两类不同的曲线，找出其共性和差别，使学生确切地了解圆与椭圆的联系和区别，使其本质特征更清晰.
共同点：都为封闭几何曲线.
不同点：圆只有一个定点即圆心，椭圆有两个定点即焦点F1、F2.
提问：在什么情况下，椭圆变为圆？
启发学生借助圆与椭圆的标准方程，从中寻找理论依据.椭圆中三个基本量a、b、c满足a2=b2＋c2,当c=0时，即两焦点重合时，a2=b2，即椭圆的长半轴与短半轴相等，从而转化为圆.由此可见，当椭圆的两焦点逐渐靠拢直至重合时，椭圆逐渐向圆变化，体现了几何曲线图象中的极限思想.
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