椭圆比值定义（第二定义）的应用 人教选修
［例7］椭圆的方程为
上有一点p，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点p到它的右焦点的距离.
解：∵a2=100,b2=6
∴c=
∴e=
=
依椭圆第二定义，设p点到椭圆左焦点的距离为x，则
∴x=6
∴点p到椭圆右焦点距离为2×10-6=14
评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在教学中的重要训练对象.
［例8］已知定点A（-2，
），点F为椭圆
的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求|MA|＋2|FM|的最小值，并求出此时点M的坐标.
分析：设M（x,y），则有
由①可将y用x表示出来，将其代入①，则式子|MA|＋2|FM|可转化成一个关于x的一元函数，再求其最小值.
以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.
解：∵a=4,b=2
,c=2
∴e=
右焦点F（2，0），右准线方程l:x=8
设点M到右准线l的距离为d，
则
得2|MF|=d
∴|MA|＋2|MF|=|MA|＋d
由于点A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|为|MA|＋d的最小值，其值为8＋2=10
∵M点的纵坐标为
，得横坐标为2
∴|MA|＋|2MF|的最小值为10，点M的坐标为（2
，
）
评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.
（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义.
［例9］设p（x0,y0）是离心率为e的椭圆，方程为
上的一点，p到左焦点F1和右焦点F2的距离分别为r1和r2.
求证：r1=a＋ex0,
r2=a-ex0
证明：由椭圆第二定义，得
∴|pF1|=e
=e
∴|pF1|=a＋ex0
又
∴|pF2|=e
=e
∴|pF2|=a-ex0
注意：|pF1|=a＋ex0,|pF2|=a-ex0，称为(x0,y0)点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.
［例10］已知椭圆
，过左焦点F作倾斜角为30°的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.
解法一：∵a=3,b=1,c=2
∴F(-2
,0)
∴直线方程为y=
与
联立消元，得
4x2＋12
x＋15=0 ①
设A（x1,y1）,B(x2,y2)则依韦达定理，得
x1＋x2=-3
,x1x2=
∴|AB|=
∴|AB|=2
解法二：由于所求线段AB是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：
|AB|=|AF|＋|BF|=2a＋e(x1＋x2)=2
评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.
四、参考练习题
1.椭圆的一个顶点和一个焦点在直线x＋3y-6=0上，则此椭圆标准方程是 （ ）
A.
B.
C.
或
D.
或
答案：D
2.椭圆
上点p到右准线的距离等于4.5，则点p到左准线距离是 （ ）
A.8 B.12.5 C.4.5 D.2.25
答案：A
中考 高考名著
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