椭圆 7 人教选修
●教学目标
能力训练要求
1.深化椭圆的性质学习.
2.提高解题的综合能力.
●教学重点
学生解题综合能力的培养与提高
●教学难点
学生解题综合能力的培养与提高
●教学方法
师生共同讨论法
通过对具体问题的分析与讨论，使学生对综合问题有一个清楚的认识，并通过综合题的解答，提高学生的语言表达能力，运算能力，探索能力，分析问题解决问题的能力.
●教具准备
投影片五张
第一张：本课时教案的例8（记作§8.2.4 A）
第二张：本课时教案的例9（记作§8.2.4 B）
第三张：本课时教案的例10（记作§8.2.4 C）
第四张：本课时教案的例11（记作§8.2.4 D）
第五张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§8.2.4 E）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上节课我们学习了椭圆的参数方程，并且讨论了参数方程与普通方程的互化，以及参数方程的应用，请同学们回忆一下，参数方程化为普通方程时的关键是什么？
［生］参数方程化为普通方程的关键是消去参数.
［师］消去参数的方法有哪些呢？
［生］利用三角函数中同一个角的三角函数的平方关系.
［师］还有吗？请注意，我问的是参数方程化为普通方程时消去参数的方法.
（学生思考）
［生甲］代数中的加减消元法，代入消元法，也能用来消去参数.
［生乙］三角函数中的倒数关系也能用来消参.
［生丙］要根据参数方程的不同形式用不同的方法，只要能消去参数的方法都能用.
［师］上述三位同学说得非常好，参数方程化为普通方程时，关键是消参，这是我们的最终目标，无论用什么方法，实现目的为原则.
［师］普通方程化为参数方程的实质是什么？
［生］用一个参量将x、y表示出来，当然表示的形式越简单越好.
［师］要得到简单而准确的表示方法，就要根据变通方程的结构特点，恰当地选用参数，这样做了之后，在求某些最值问题时，将是很方便的.
为了巩固前面我们所学的知识，这节课我们继续通过例题去体会知识间的联系.
Ⅱ.讲授新课
［师］首先来看这样一个题目（打出投影片§8.2.4 A）
［例8］将椭圆
按向量(1,2)平移，则平移后的椭圆方程为______.
［师］怎样得到平移后的椭圆方程呢？
［生］由平移公式
得
代入原方程得
∴平移后的椭圆的方程为：
［师］这种方程从形式上看，与椭圆的标准方程一致，我们将称为椭圆的标准型方程.
注意：练习此题的目的在于想让学生了解椭圆的标准型方程的形式，以后遇到这种形式的椭圆时，不会感到茫然.
［师］再看这样一个题目
（打出投影片§8.2.4 B）
［例9］椭圆
的焦点是F1和F2,点p在椭圆上，如果线段pF1的中点在y轴上，那么|pF1|是|pF2|的 （ ）
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
［师］拿到这个题目首先应该干什么？
［生］根据题意画出图形.
［师］大家试着画一画，将已知条件反映在图形上，看能得出些什么呢？
［生］（画图）
∵pF1的中点M在y轴上且原点O是F1F2的中点
∴MO∥pF2，△pF1F2为直角三角形
|pF1|＋|pF2|=2a=4
|pF1|2-|pF2|2=|F1F2|2=36
继续对以上两个方程所组成的方程组求解可得出|pF1|与|pF2|，从而知道它们之间的关系.
［师］好，谁来把这个过程表述一下？
［生甲］已知a=2
,b=
∴c=3
∵pF1的中点在y轴上且OF1=OF2
∴pF2∥y轴
∴△pF1F2是直角三角形
设|pF1|=r1,|pF2|=r2
则
∴r1=7r2
即|pF1|=7|pF2|
故应选A
［师］解选择题是没有必要写出详细解答过程的，但思路必须清楚.另外，在解答解析几何的有关问题时，要充分运用平面几何的性质.
［师］下面我们再来看一道较复杂一点的题目.（打出投影片§8.2.4 C）
［例10］设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=
，已知点p（0，
）到这个椭圆上的点的最远距离是
，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点p的距离等于
的点的坐标.
分析：此题的关键是确定a、b的值，而确定a、b的值需要两个关系式，这里由e=
可得到a、b的一个关系式，再由椭圆上的点到点p的最大距离是
又能得到一个关系式，由此两个关系式即可确定出a、b的值.由题目中的e=
容易得到一个关于a、b的关系的式子，但另一个关于a、b的关系式子却比较复杂了，需要设出一个点（椭圆上的）写出该点到点p的距离为d，求出d的最大值,由其最大值是
得到.
［师］思路理顺了，下面我们来看一下怎样实现我们的目标.
解法一：设所求椭圆的方程是：
(a＞b＞0)
由e2=
得
∴a=2b
设椭圆上任一点（x,y）到点p的距离为d，则
(其中-b≤y≤b)
若b＜
，则当y=-b时，d有最大值b＋
由已知得b＋
=
,
b=
-
＞
与b＜
矛盾
若b≥
，则当y=-
时，d有最大值
由已知得
=
,由此得
b=1,a=2
∴所求椭圆方程是
则由y=-
及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（-
，-
）和（
，-
）到点p的距离是
.
解法二：设所求椭圆方程为：
(a＞b＞0)
由e2=
得
∴a=2b
设椭圆上任一点（acosθ,bsinθ）到点p的距离为d,(0≤θ＜２π)
（这里是用参数形式表示椭圆上任一点）
若
＞1，即b＜
则当sinθ=-1时，d有最大值b＋
由已知得b＋
=
∴b=
-
与b＜
矛盾
若
≤1,即b≥
则当sinθ=-
时，d有最大值
由已知得
=
，
∴b=1,a=2
∴所求椭圆的方程为
由sinθ=
,b=1,a=2得椭圆上的点.
(-
,-
)和(
,-
)到点p的距离是
注意：在应用配方法求最值时，一定要注意变量的取值范围.如解法一中-b≤y≤b，还要考虑
是否在区间［-b,b］内，于是分b＜
与b≥
两种情况讨论;同样在解法二中-1≤
sinθ≤1，分
不在区间［-1,1］内和在［-1，1］内两种情况研究.不明以上道理，在解法一中盲目地得出y=-
时d取最大值
，虽能得出正确答案，但毫无道理.
［师］下面我们再来看一下综合题目
（打出投影片§8.2.4 D）
［例11］已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于p、Q两点，以pQ为直径的圆经过原点O，且|pQ|=
，求椭圆的方程.
［师］此题求的是椭圆的方程，即清楚轨迹类型，首先应该怎么办？
［生］设出椭圆的方程.
［师］已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，其方程该是什么形式？
［生乙］设所求椭圆的方程为
（a＞b＞0）
［师］生乙所设正确吗？
［生丙］不完整，还应补充上所求椭圆的方程为
(a＞b＞0)，因为已知中只说了焦点在坐标轴上，而没有说焦点在哪个轴上，所以焦点既可能在x轴上，也可能在y轴上，因而设出的方程应该有两种形式.
［师］生丙同学所答很好！我们在考虑问题时，不能遗漏任何一种可能的情况，但这样一来，又给问题的解决带来了麻烦，要在两种方程的前提下，去解两次同样的题目，这不很麻烦吗？
［生丁］可以用“同理”减少点儿麻烦.
［师］生丁同学谈得很好，用“同理”确实能减少点麻烦，大家回顾一下我们解题中用“同理”情况，它能减少些什么麻烦？
［生］解题过程中的表述不需要再一步步细细推理或推演了.
［师］正确，但不表述能否就不要去进行相应的计算了呢？
［生］计算不能少，一步也不能少.
［师］为了避免在两种方程的前提下去解两次同样的问题，我们可以把方程设为
mx2＋ny2=1(m＞0,n＞0)
［师］下面我们继续分析.
［师］直线y=x＋1椭圆交于p、Q两点，说明方程组
有两组不同的解，以pQ为直径的圆经过原点O，说明∠pOQ为Rt∠,即Op⊥OQ,也就是kOp·kOQ=-1，或者xp·xQ＋yp·yQ=0，可得到m·n的一个关系式；|pQ|=
又可知m、n的一个关系式，联立解之即可求出m、n的值，从而确定方程.
解：设所求椭圆的方程为
mx2＋ny2=1(m＞0,n＞0)
依题意得：
将②代入①得mx2＋n(x＋1)2=1
整理得：
(m＋n)x2＋2nx＋n-1=0
设p（x1,y1）,Q(x2,y2)
∴
③
∴y1y2=(x1＋1)(x2＋1)=x1x2＋x1＋x2＋1
∴y1y2=
∵以pQ为直径的圆过原点O，则Op⊥OQ
∴x1x2＋y1y2=0，即
＋
=0
∴m＋n=2 ④
将④代入③中得
∵|pQ|=
|pQ|2=(x1-x2)2＋(y1-y2)2=
即［(x1＋x2)2-4x1x2］(1＋12)=
∴4n2-7n＋3=0
解之得，n=
或n=
∴
∴所求椭圆的方程为
x2＋
y2=1
或
x2＋
y2=1
Ⅲ.课时小结
本节课我们讨论了有关椭圆的几个综合题的解法，对于综合题，我们一定要掌握分析的方法，并弄清题意，各个击破，达到解决问题的目的.
Ⅳ.课后作业
（一）1.椭圆的长轴长和短轴长的和是20，焦距等于4
，则椭圆的标准方程是______.
2.若椭圆的焦点在x轴上，焦点到短轴端点的距离等于2，到相应准线的距离等于3，求此椭圆的标准方程.
3.椭圆
内有一点M（0，5），在椭圆上有一点N，使|MN|有最大值，求N.
答案：1.
2.
3.N(4
,-5)或(-4
,-5)
（二）1.预习内容：p104双曲线及其标准方程至例2结束.
2.预习提纲：
（1）双曲线及其焦点，焦距的定义是什么？与椭圆及其焦点、焦距相比较有哪些相同点与不同点？
（2）双曲线的标准方程有几种形式？分别是怎样的？与椭圆的标准方程比较有什么区别？
（3）怎样的双曲线其方程为标准方程？标准方程所表示的双曲线其图形有什么特征？你能根据双曲线的标准方程确定焦点的位置吗？
（4）对于双曲线a、b、c的关系怎样？与椭圆中a、b、c的关系有什么区别？
（5）求满足条件的双曲线的标准方程的关键是什么？
●板书设计
§8.2.4椭圆的简单几何性质（四） 例8 例9 例10 例11 小结 |
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