椭圆 2 人教选修
●教学目标
（一）教学知识点
椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点（截距）.
（二）能力训练要求
1.使学生了解并掌握椭圆的范围.
2使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心.
3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a、b、c的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距.
4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义.
（三）德育渗透目标
使学生充分认识到数与形的联系，体会数与形的辩证统一.
●教学重点
椭圆的简单几何性质.
●教学难点
椭圆的简单几何性质.
（这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的）
●教具准备
投影片两张
第一张：p97图8—6（记作§8.2.1 A）
第二张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.（记作§8.2.1 B）
●教学方法
师生共同讨论法.
通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上节课我们学习了求轨迹方程的一种方法——转移法（代换法），哪一位同学能谈一下，求点的轨迹方程时，什么情况下，用转移法.
［生］当动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在规律的曲线上时，求动点的轨迹方程用转移法（代换法）.
［师］转移法的关键是什么？
［生］转移法的关键是建立两个动点间的坐标关系.
［师］转移法的实质是什么？
［生］转移法的实质就是将动点转移到有规律的曲线上，进而求出动点的轨迹方程.
［师］好，我们研究讨论椭圆的标准方程已有好几个课时了，研究讨论它的方程有什么意义呢？研究方程就是想进一步认识这种曲线的几何特征.
（板书课题）
Ⅱ.讲授新课
［师］研究曲线的几何特征有什么意义？
［生］（通过预习，学生大部分已清楚了）.研究曲线的几何性质可以从整体上把握曲线的形状.大小和位置.
［师］怎样来研究曲线的几何特征呢？
在解析几何里，是通过对曲线的方程的讨论来研究曲线的几何特征的.
［师］下面我们利用椭圆的标准方程.
(a＞b＞0)
来研究椭圆的几何性质.
1.范围：
［师］由标准方程可知，两个变量x、y并非都是自变量，两个变量的变化互相依赖，互相制约，由于是两个非负数的和等于1，所以，椭圆上点的坐标（x,y）适合不等式：
≤1,
≤1
即：x2≤a2,y2≤b2
∴|x|≤a,|y|≤b
这说明椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成的矩形里.
2.对称性：
［师］在曲线的方程里，我们讨论过对称性，如果以-y代y方程不变，那么当点p（x,y）在曲线上时，它关于x轴的对称点p′(x,-y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，如果以-x代x方程不变，那么曲线关于y轴对称，如果同时以-x代x，以-y代y方程不变，那么曲线关于原点对称.
［师］我们来看椭圆的标准方程，以-x代x，或以-y代y或同时以-x代x,-y代y，方程怎样改变？
［生］没有改变.
［师］所以椭圆关于x轴、y轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.
（板书）
［师］请同学们注意：标准方程表示的椭圆，它的对称轴是坐标轴、中心是原点，那么能不能说椭圆的对称轴是坐标轴，椭圆的对称中心是原点呢？
［生］不能说椭圆的对称轴是坐标轴，中心是原点.
［师］既然不能这样说，那么椭圆是否就没有对称轴，没有中心了呢？
［生］无论椭圆在什么位置，它都有互相垂直的两条对称轴，都有中心，椭圆的对称轴不是坐标轴时，椭圆的方程不是标准方程.
［师］椭圆的对称轴不是坐标轴时，椭圆的方程是怎样的？
［生］（回答不上来）
［师］关于这个问题随着我们以后的不断深入学习大家会搞清楚的.
（此课时不必研究）
［师］现在我们应该明白的是：标准方程表示的椭圆，其中心是原点，对称轴是坐标轴，反过来，对称轴是坐标轴的椭圆，其方程是标准方程.
3.顶点：
［师］研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置，要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.同学们看一下，标准方程所表示的椭圆与x轴、y轴的交点坐标是怎样的.
［生］在椭圆的标准方程里，令x=0得y=±b,所以得到：（0,b）、（0,-b）是椭圆与y轴的两个交点，同理令y=0，得x=±a，可得（a,0）、(-a,0)是椭圆与x轴的两个交点.
［师］因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以，椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点，即椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.（板书）
［师］线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是2a和2b,其中a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.（板书）
［师］观察图8—6（打出投影片§8.2.1 A）
由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即
|B1F1|=|B2F1|=|B1F2|=|B2F2|=a
在Rt△OB2F2中
|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2
即c2=a2-b2
这就是在第8.1节中令a2-c2=b2的几何意义.
至此，a、b、c三者都有了几何意义，它们分别是长半轴长、短半轴长、半焦距.
4.离心率
［师］椭圆的离心率是怎样定义的？
［生］椭圆的焦距与长轴长的比
=e,叫做椭圆的离心率.（板书）
［师］椭圆离心率e的范围是怎样的？
［生］因为a＞c＞0,所以0＜e＜1
［师］非常正确，e既然在（0，1）变化，e的变化又对椭圆有什么影响呢？
［生］e越接近于1，则c就越接近于a,从而b=
越小，椭圆就越扁，反之，e越接近于0，则c就越接近于0，从而b就越接近于a，椭圆就越接近于圆.
［师］当且仅当a=b时，即c=0，两个焦点重合，这时图形变为圆，它的方程为：
x2＋y2=a2
因此有些书把圆可以看作是椭圆的特例，它是离心率为0的椭圆，在我们的教材中，把圆单独作为一部分来研究.将圆与椭圆作为两种不同的曲线来讨论，所以椭圆的离心率为0＜e＜1.
［师］下面同学们自己来看例1.
（给学生几分钟时间）
［师］根据椭圆方程求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标时，首先应该做些什么？
［生］首先应将椭圆的方程化成标准方程.
［师］前面大家已预习椭圆的草图画法了，那么请大家谈一下画椭圆草图有几个步骤？应该注意些什么？
［生］三个步骤：
①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边画矩形.
②由矩形的四边中点即可得椭圆的四个顶点.
③用光滑曲线将四个顶点连成一个椭圆.
在画图时应注意图形的对称性及顶点附近的平滑性.
Ⅲ.课堂练习
对于椭圆的两种标准方程，请同学们列表整理椭圆的简单几何性质.
曲线 | 椭圆 | |
定义 | 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹 | |
标准方程 |
|
|
图形 |
|
|
顶点坐标 | （±a,0）(0,±b) | (±b,0),(0,±a) |
对称轴 | x轴长轴长2a y轴短轴长2b | x轴短轴长2b y轴长轴长2a |
焦点坐标 | （±c,0）c= | (0,±c)c= |
离心率 | 0＜ | 0＜ |
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了椭圆的四个简单几何性质，即范围、对称性、顶点、离心率，熟悉这些性质是我们解决计算问题、证明问题、轨迹问题及其他有关问题的基础和关键.
Ⅴ.课后作业
（一）1.课本p102练习1，2，3，5，
2.p103习题8.21，2，3.
（二）1.预习内容：p98例1，例2
2.预习提纲：
(1)在椭圆中已知e=
，能否说a=2,c=1呢？若不能，那么e=
，能说明什么呢？
(2)不清楚椭圆标准方程时，其标准方程有几种形式？
(3)椭圆的第二定义是什么？
(4)椭圆的准线是怎样定义的？
(5)对于一个确定的椭圆，它有几条准线？
(6)中心在原点焦点在y轴上的椭圆，它的准线方程是怎样的？
●板书设计
§8.2.1椭圆的简单几何性质（一） 对于椭圆的标准方程进行研究 1.范围 椭圆位 2.对称性小结 椭圆关于x轴、y轴、原点都对称 3.顶点 顶点坐标为（±a,0）,(0,±b) 4.离心率 e= |
于x=±a,y=±b的矩形里
且0＜e＜1中考 高考名著
常用成语