谈圆锥曲线教学中学生思维品质的培养 人教选修

众所周知，人的能力有大小之分，中学生的思维能力也是如此，表现出参差不齐，其中最能体现思维能力差异的是学生表现出来的思维品质.

数学的教学过程，就是要根据教材内容，不断挖掘其潜能，对学生进行思维品质的培养，才能有效地启迪学生的思维，提高课堂教学效率.

下面就圆锥曲线教学中，如何培养学生思维品质，谈谈我们的一些做法.

一、揭示概念内涵

数学概念具有不同程度的抽象性和系统性，圆锥曲线这部分内容中，包含有许多概念，在这些概念的教学中，通过揭示概念的内涵，引导学生理解其实质，深入广泛地思考，全面深刻地分析有关问题，从而有效地培养学生思维的广阔性.

例如，在双曲线概念的教学中，在前面学习“椭圆”定义的基础上，进一步得出双曲线的概念：“平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹，叫做双曲线”.

得出这一结论后，可向学生提出下列问题，帮助学生理解这一概念的内涵.

1．平面内与两定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹，是否一定都是双曲线？

2．在双曲线概念中，将“绝对值”去掉，其余不变，结论有何不同？

3．在双曲线概念中，将括号内“小于|F₁F₂|”改为大于（或等于）|F₁F₂|，其余不变，结论有何变化？

4．若概念中的常数为零，动点的轨迹是什么？

通过这样的引导与启发，使学生对双曲线概念中的“绝对值”和“常数”（小于|F₁F₂|）等内涵有了较全面、较深刻的认识和理解.

二、重视概念的灵活运用

灵活运用概念进行解题，是学习概念的目的之一，也是解题的重要途径.在圆锥曲线的教学中，有目的地引导学生运用概念进行解题，帮助学生观察、联想、探索理解概念的本质，使学生能灵活、熟练地用圆锥曲线定义解决有关问题，达到快捷，简洁的效果.从而培养思维的深刻性.

例1 已知p是椭圆、F2分别是它的左、右两个焦点.以|pF₂|为直径的圆与长轴为直径的圆的位置关系是（ ）

A．外切 B．内切 C．相交 D．相离

分析：解决本题的关键是找出两圆的圆心距与两圆半径的关系.如图1，设pF2的中点为A，连pF1，则|OA|是两圆的圆心距，且又根据椭圆定义.联想到得|pF1|=2a－|pF2|.因此有由于圆心距等于半径之差，故两圆内切，从而问题得到解决.

为了加深学生对概念的运用，还可以给出下列思考题，巩固学生对本题的理解.

思考一：若本例中，椭圆改为双曲线，长轴改为实轴，其余不变，结论如何？

思考二：若本例中的椭圆改为抛物线，长轴改为y轴（或x轴），结论又如何？

思考三：若已知曲线的右焦点为F，点A（1，2）是一定点，p是曲线上一点，那么|pA|＋2|pF|的最小值是多少？

经过这些问题的训练与解决，使学生对运用概念解题有了较深刻的认识.

三、培养学生的独立见解

独立见解是指善于根据客观事实，独立发现问题、分析问题和解决问题.对所遇到的问题能设法独立解决，不盲目迷信或照搬现成的答案.

例2 已知实数x、y满足（）.

（1993年全国高中数学联赛试题）

本题的一般解法是构造函数、方程或利用均值不等式，或通过三角换元等方法求解.但下面的解法却独树一帜，简明快捷.

解：设

代入已知式化简整理得：

问题至此，已迎刃而解，可见，利用极坐标法解决二次函数的最值问题，方法新颖别致，给人以耳目一新的感觉.用此方法还可求解一些类似的高考试题，如：

设实数x、y满足的最大值是.（1990年全国高考试题）.

四、克服定势思维的影响

学生的定势思维既可能对学生继续学习产生积极作用；也可能对学生继续学习产生消极作用；数学的教学过程，应注意最大限度地克服学生的定势思维对学习的干扰，从而促进思维的发展，培养其思维的灵活性.

例3 已知过椭圆的中心的直线与椭圆交于A、B两点（图2），求以AB为底边，底角为θ（定值）的等腰三角形△ABC的顶点C轨迹方程.

本题若按常规解法，显得较为呆板、繁琐.若排除定势思维的影响，敢于打破常规，借助复平面，利用复数的几何意义求解，就能收到既准又快的功效.

事实上，A、B关于复平面原点对称，因此，CO⊥AB，且按顺时针（或逆时针）方向旋转后得到的向量共线，由复数的几何意义得：

利用B在椭圆上，容易求出C点的轨迹方程是：

综上所述，教师在平时的教学过程中，只有时时刻刻都有意识地对学生进行思维品质的培养，才能使学生养成良好的思维习惯；只有不断挖掘教材的潜能，才能有效地启迪学生的思维，使学生的思维能力得到锻炼和培养.