算法的概念 人教必修

【教学目标】：

了解算法的含义，体会算法的思想。

能够用自然语言叙述算法。

掌握正确的算法应满足的要求。

会写出解线性方程（组）的算法。

会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

【教学重点】算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。.

【教学难点】把自然语言转化为算法语言。.

【学法与教学用具】：

学法：

1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具:计算机，TI-voyage200图形计算器

【教学过程】

一、本章章头图说明

章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”。

算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。

古代的计算工具：算筹与算盘.

20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具。

例1：解二元一次方程组：

分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写出它的求解过程.

解：第一步：② - ①×2，得： 5y=3；③

第二步：解③得；

第三步：将代入①，得.

学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？

老师评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组的解的算法：

例2：写出求方程组的解的算法.

解：第一步：②×a1 - ①×a2，得：③

第二步：解③得；

第三步：将代入①，得

利用TI-voyage200图形计算器演示：（吸引学生的注意力）

运行结果：

算法概念：

在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

说明：

1.“算法”没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性的说明.

2. 算法的特点:

(1)有限性：

一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

(2)确定性：

算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

(3)顺序性与正确性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

(4)不唯一性：

求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

(5)普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

例题讲评：

例3、任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.

分析：（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.

（2）要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.

解：算法：

第一步：判断n是否等于2.若n=2，则n是质数；若n＞2，则执行第二步.

第二步：依次从2~（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数.若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.

说明：本算法是用自然语言的形式描述的.设计算法一定要做到以下要求：

（1）写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用.

（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少.

（3）要保证算法正确，且计算机能够执行.

利用TI-voyage200图形计算器演示：(学生已经被吸引住了)

例4、.用二分法设计一个求方程的近似根的算法.

分析：该算法实质是求的近似值的一个最基本的方法.

解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：

第一步：令.因为，所以设x1=1，x2=2.

第二步：令，判断f（m）是否为0.若是，则m为所求；若否，则继续判断大于0还是小于0.

第三步：若，则x1=m；否则，令x2=m.

第四步：判断是否成立？若是，则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.

说明：按以上步骤，我们将依次得到课本第4页的表1-1和图1.1-1.于是，开区间（1.4140625，1.41796875）中的实数都满足假设条件的原方程是近似根.

利用TI-voyage200图形计算器演示：

运行结果：

练习1：

写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法。

解：算法1：

第一步：移项，得x2－2x－3＝0；①

第二步：①式两边同加1并配方，得（x－1）2＝4；②

第三步：②式两边开方，得x－1＝±2；③

第四步：解③得x＝3或x＝－1。

算法2：

第一步：计算方程的判别式判断其符号△＝22＋4×3＝16＞0；

第二步：将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，

得x1＝3，x2＝－1

评析：比较两种算法，算法2更简单，步骤少，所以利用公式解决问题是最理想、合算的算法。因此在寻求算法的过程中，首先是利用公式。

下面设计一个求一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的算法如下：

第一步：计算△＝b2＋4ac；

第二步：若△＜0；

第三步：输出方程无实根；

第四步：若△≥0；

第五步：计算并输出方程根x1,2＝。

练习2、求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。

第一步，先求1×3，得到结果3；

第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；

第三步，再将15乘以7，得到结果105；

第四步，再将105乘以9，得到945；

第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。

评析：求解某个问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用；算法过程要能一步一步地执行，每一步操作必须确切，能在有限步后得出结果。

练习3、有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题。

分析：由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换。

解：算法步骤如下：

第一步：取一只空的墨水瓶，设其为白色；

第二步：将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；

第三步：将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；

第四步：将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；

第五步：交换结束。

评析：对于这种非数值性问题的算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法。

小结

1、算法概念和算法的基本思想

（1）算法与一般意义上具体问题的解法的联系与区别；

（2）算法的五个特征。

2、利用算法的思想和方法解决实际问题，能写出一此简单问题的算法

3、两类算法问题

（1）数值性计算问题，如：解方程（或方程组），解不等式（或不等式组），套用公式判断性的问题，累加，累乘等一类问题的算法描述，可通过相应的数学模型借助一般数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化即可。

（2）非数值性计算问题，如：排序、查找、变量变换、文字处理等需先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述。

4、利用TI-voyage200图形计算器演示时，开始学生看，想，探究，然后模范、创新。图形计算器为学生创建一个自我发挥的平台。

作业：（课本第4页练习）

1、任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.

解：算法步骤：

第一步：输入任意一个正实数r；

第二步：计算以r为半径的圆的面积：；

第三步：输出圆的面积S.

2、任意给定一个大于1的正整数n，设计一个算法求出n的所有因数.

解：算法步骤：

第一步：依次以2～（n-1）为除数去除n，检查余数是否为0.若是，则是n的因数；若不是，则不是n的因数；

第二步：在n的因数中加入1和n；

第三步：输出n的所有因数.

利用TI-voyage200图形计算器演示：

运行结果：

（即32的公因数为1，2，4，8，16，32）