双曲线及其标准方程 人教选修

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．

(二)能力训练点

在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

(三)学科渗透点

本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．

二、教材分析

1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．

(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)

2．难点：双曲线的标准方程的推导．

(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)

3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？

(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．)

三、活动设计

提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．

四、教学过程

(一)复习提问

1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)

平面内与两定点F₁、F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F₁、F₂的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F₁F₂|．

2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)

(二)双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？

1．简单实验(边演示、边说明)

如图2-23，定点F₁、F₂是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF₁|-|MF₂|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF₂|-|MF₁|是同一常数，可以画出另一支．

注意：常数要小于|F₁F₂|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．

2．设问

问题1：定点F₁、F₂与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

请学生回答，不能．强调“在平面内”．

问题2：|MF₁|与|MF₂|哪个大？

请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF₁|＞|MF₂|；当点M在双曲线左支上时，|MF₁|＜|MF₂|．

问题3：点M与定点F₁、F₂距离的差是否就是|MF₁|-|MF₂|？

请学生回答，不一定，也可以是|MF₂|-|MF₁|．正确表示为||MF₂|-|MF₁||．

问题4：这个常数是否会大于等于|F₁F₂|？

请学生回答，应小于|F₁F₂|且大于零．当常数=|F₁F₂|时，轨迹是以F₁、F₂为端点的两条射线；当常数＞|F₁F₂|时，无轨迹．

3．定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点F₁、F₂的距离的差的绝对值是常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F₁、F₂叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．

(三)双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．

标准方程的推导：

(1)建系设点

取过焦点F₁、F₂的直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系．

设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F₂的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．

(2)点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

p={M||MF₁|-|MF₂||=2a}={M|MF₁|-|MF₂|=±2a}．

(3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板)

将这个方程移项，两边平方得：

化简得：

两边再平方，整理得：

(c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²)．

(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)

由双曲线定义，2c＞2a　 即c＞a，所以c²-a²＞0．

设c²-a²=b²(b＞0)，代入上式得：

b²x²-a²y²=a²b²．

这就是双曲线的标准方程．

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

教师指出：

(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c²=a²＋b²，不同于椭圆方程中c²=a²-b²．

(四)练习与例题

1．求满足下列的双曲线的标准方程：

焦点F₁(-3，0)、F₂(3，0)，且2a=4；

3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？

由教师讲解：

按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b²=c²-a²=52-32=42．

因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．

所以动点无轨迹．

(五)小结

1．定义：平面内与两定点F₁、F₂的距离的差的绝对值等于常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹．

3．图形(见图2-25)：

4．焦点：F₁(-c，0)、F₂(c，0)；F₁(0，-c)、F₂(0，c)．

5．a、b、c的关系：c²=a²＋b²；c=a²＋b²．

五、布置作业

1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；

3．已知圆锥曲线的方程为mx²＋ny²=m＋n(m＜0＜m＋n)，求其焦点坐标．

作业答案：

2．由(1＋k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

六、板书设计