数系的扩充 人教选修

课题：4．3数系的扩充

教学目的：了解数集的扩充过程

教学过程：

从数学史发展的角度来看，首先数系扩展伊始主要是由于实践的需要.正是为了解决实践中出现的问题，人们不断将数的领域加以扩展.首先是实践需要引入了自然数，人们最早就认可了自然数.自然数是不同种类数中最初等和最基本的.它的产生可以说完全是社会实践的推动的结果.引入自然数后，任何离散的对象都可以用自然数予以量化了

以自然数为源头，数系得以不断扩充.随后又引入了分数.我国古代在对分数的引入与使用中长期居于领先地位.究其原因，这与我国古代数学一开始便同天文历法结下了不解之缘有关.这提供了数学与其它学科的密切相关的一个例证.事实上，在我国古代数学与天文学的关系极为密切.中国历史上把天文学家和数学家合称为“畴人”正可以反映出这一点.此外，由于调整历法数据的要求，中国古代数学家发展了分数近似算法：“调日法”，使得我国古代在数的有理逼近方面达到了很高的水平

数系扩充到分数这一步，应该说对于应付实践的需要就基本上够用了.小数在数学中是很有用的.我国是最早使用小数的民族.但是在我国从刘徽产生十进小数思想到被广泛应用的宋元时期，经历了一千多年的时间.这是什么原因呢？生活实践中缺乏小数应用的紧迫性、必要性是一个重要原因后来，小数的使用也正是由于生活实践的推动

然而，数学的发展又具有独立性、曲折性，数系的引入历史证明了这一点.

现实世界中大量存在的具有相反意义的量，但这却并不意味着人们就一定能够产生出负数的概念，在西方负数的引入是很晚的事，就从反面说明了这一点.在我国，负数的产生，也并不完全是实际需要的产物.出于解方程组的必要，或许是负数引入更重要的原因吧.因而，至少我们可以说负数在我国的产生是实践与数学两方面结合的产物.无理数的引入，虽说也存在着客观因素.因为现实世界中除了离散量外，还存在大量连续量，而为了刻画出连续量就必须引入无理数.但数学史的发展表明，无理数引入的直接动力来自于数学内部.在东西方，都是由于研究几何问题才引入了无理数的.如果说与客观因素有联系的话，这种联系也只能说是间接的，而非直接的.从实际应用的角度来说，正如我们前面指出的那样，无理数是不必要的，事实上为了实际使用，对无理数我们也都是仅取其近似值而已.从实数往后，数系的进一步推广，主要也是来自于数学内部的原因了.虚数的引入是一个突出的例证.正是由于解方程的需要，人们才不得不引入了缺乏现实背景的虚数.而虚数的被广泛认可又是其几何意义的确立.这表明了直观性的几何对代数的促进作用.数学与自然科学有着相互影响、相互作用的关系.数学为自然科学提供定量描述的工具，自然科学则向数学提供大量的问题.在数学发展的历史上，自然科学始终以提问者的身份刺激着数学的发展.源于自然科学的数学问题，从对数学的作用和影响来看，大体上可归纳为两类：一类是延伸性问题，即对已形成的数学理论起着扩展成果的作用；另一类问题往往导致数学在思想方法上发生质的变化，因而对于数学的发展显得尤为重要.实际上，物理学与数学之间的互相推动，比我们这本书中所讲述的要频繁得多.至今，物理学方面的问题仍然是刺激数学发展的一个重要源泉

总之，数学史的这些事例证明：并非数学向前发展的每一步，都需要生产实践的直接推动.数系的扩充，既是由于社会实践的推动，又符合算术、几何、代数这些数学学科理论发展的要求.它不是随随便便，想怎么扩充就怎么扩充的.过去是这样，将来也必然是这样.从数系扩充的历史过程中，我们一方面看到，数学从实践中吸取营养而发展，反过来又解决了实践提出的问题；另一方面看到，几何和代数的知识是互相联系，并且互相促进的.我们要学好数学，不仅要注意实践中的数学问题，而且要注意代数、几何不同学科间的相互关联.简言之，有的数类（如分数）的引入具有明显的客观背景，有的在当时则完全是出于数学研究自身的需要

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纵观数学发展的进程，问题是数学的心脏.数学问题是推动数学发展的主要动力.当然数学问题的来源是多样的.数学问题的来源大体上可以分为两部分，一部分来源于生产、生活实际以及其他科学技术领域；另一部分来源于数学本身，也就是由数学问题衍生出新的数学问题.尤其是当数学逐渐形成理论体系之后，它就开始以一个真正提问者的身份出现，不断地向自身提出新的问题.这类问题，我们称之为数学体系内部问题.数学发展到一定阶段，数学内部问题就成了推动数学发展的主要动力