三角函数的积化和差与和差化积人教必修

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一、素质教育目标

(一)知识教学点

1．三角函数的积化和差．

2．三角函数的和差化积．

(二)能力训练点

1．三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数值的变形中是十分重要的．

2．积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了许多重要的教学思想和方法，在课堂教学中应作为重要一环给予足够的重视．

(三)德育渗透点

数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处在对立统一体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从右到左则成为和差化积．在实际应用，他们又是相辅相成的，通过这一内容的教学，使学生受到一次辩证法实例的教育，不失为一个好时机．

二、教学重点、难点

1．教学重点：理顺三角公式变换的相互关系，掌握积化和差与和差化积公式的推导过程，并能用它们解决一些实际问题，以及用好用活

2．教学难点：

(1)公式的推导．

(2)公式的应用．

(3)三角式的恒等变换的一般规律．

三、课时安排

4课时．

四、教与学过程的设计

第一课时　三角函数的积化和差

(一)复习和、差角的正弦与余弦公式

师：前阶段我们已学习了和差、倍、半角的三角函数的公式，请问学生回忆一下这些三角公式的推导，变换过程．

生：所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是证明了两角和的余弦函数公式．之后，利用换元法以及诱导公式，同角三角函数之间的关系等而导出一系列公式来，他们相互之间是有紧密关系的．

师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内在联系，寻求新的关系式．

(二)引入新课

请学生说出正、余弦的和差角公式(板书)

sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ(1)

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)

cos(α＋β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)

cos(α-β)=cosαcosβ＋sinαsinβ(4)

师：请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用这些公式得出一些新关系来．

生1：把(1)式与(2)式相加可得

sin(α＋β)＋sin(α-β)=αsinαcosβ．

生2：把(1)式与(2)式相减可得

sin(α＋β)-sin(α-β)=αcosαsinβ．

师：(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得到：

cos(α＋β)＋cos(α-β)=2cosαcosβ，

cos(α＋β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ．

师：若把这四个关系式整理一下，即可得到

以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式．

积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)，这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的作用．现在请同学们先翻开课本p．227，先看看这段课文，特别是注意公式的函数，函数名、角的形式等特征，记好这四个公式(五分钟阅读，让学生记忆)．

师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的实际应用，是可以逐步掌握它们的．让我们看看以下的例题．

例题　求sin75°·cos15°的值．

请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？

生1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之．

师：很好，用我们刚刚学过的积化和差公式可以很方便地解决这个问题，请大家想想是否还有其他解法？

生2：由于75°与15°互为余角，所以可以采用以下的解法．

生3：由于75°与15°可以由45°与30°组合而成，所以只要用到和差角的三角函数公式就可以解决了．

师：从这个例题的几种解法，我们可以看出，三角函数求值或恒等变换，往往可以从不同角度考虑，进而使用不同的三角公式，获得问题的解决，可谓殊途同归，但是我们考虑问题时，一定要根据条件及结论、选择适当的方法，以求问题的解决．现在，请同学们取出课堂练习本，完成以下的几个练习．

(三)课堂练习

1．求sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°的值，

2．求cos37.5°·cos22.5°的值，

学生练习、教师巡视、答疑，对一些有困难的学生作些提示，适当时候，安排几个学生作板演．

练习题解法：

1．sin20·cos70°＋sin10°·sin50°

2． cos37.5°·cos22.5°

而sin20°·sin40°·sin80°

(四)课堂小结

本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式

五、作业

p．231中3；p．236中1、2．

六、板书设计

第二课时　三角函数的和差化积

一、教与学过程设计

(一)复习积化和差公式

1．请学生复述积化和差公式，教师板书

2．部分作业选讲

①　证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α．

利用积化和差公式，可得

②　求cos20°、cos40°、cos80°的值．

解法一

解法二

师：我们知道，每个数学公式都有两方面的应用，即正用与逆用．积化和差公式也不例外，那么，积化和差公式的逆用应怎么称呼呢？

生：应称为三角函数的和差化积公式．

师：确实如此，这节课，我们就来学习三角函数的和差化积公式．

(二)引入新课

由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可得以下几个公式：

sin(α＋β)＋sin(α-β)=2sinαcosβ；

sin(α＋β)-sin(α-β)=2cosαsinβ；

cos(α＋β)＋cos(α-β)=2cosαcosβ；

cos(α＋β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．

为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能方便地记忆，可作如下的换元：

这样我们就得到如下的三角函数的积化和差公式

和差化积公式与积化和差公式相反，它可以把三角函数的和差的形式转化为积的形式，从而获得问题的解决．

如前面评讲的作业，也可以一直由等式的左边一直推到等式的右边．

例1　求sin42°-cos12°＋sin54°的值．

分析：这是三角中常遇到的问题，由于原题是三个三角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式，由于上述问题中现成的同名角函数为sin42°、sin54°，因而一般做法是将这二个函数做和差化积(稍停顿)．但本题若采用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难．应该说这种思考的方向是正确的，但我们不是为和差化积而和差化积，而是为问题的解决而和差化积的，一般地说出现多个三角函数的和差时，应选择能出现特殊角的一组进行．鉴于此，本题应采取下面的解法．

解：原式=sin42°-sin78°＋sin54°

=-2cos60°sin18°＋sin54°

=cos54°-sin18°

=2sin36°sin18°．

师：进行到此，本题的化简能进行下去吗？

生：可试着使用正弦函数的倍角公式化简．

2cos36°sin18°

师：本题与前面的例题形式上是差不多的，请大家想一想该怎么解？

生：(议论)用和差化积公式化简应是可行的，由于本题三个函数都是余弦，而任两角的和、差都不为特殊角，所以可任选其中的两个先作和差化积．

提问一个学生，可得如下变形

师：到此，下一步比较关键(指导学生讨论)，逐步统一到如下解法：

师：本题对初学和积互化的关系式中是比较困难的，采用同样的方法也可以对1、3两项或2、3两项先使用和差化积公式，再利用余弦的倍角进一步完成本题．

本题还可以采用积化和差的办法解决之．

(三)小结

和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有负数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公式化成积的形式．

无论是和差化积还是积化和差中的“和差”与“积”，都是指得三角函数间的关系，并不是角的关系，这是必须十分清楚的．

三角函数的和差化积所要求的最后结果，只要是三角函数的积的形式就可以了，不求形式上的一致．

遇到三个或三个以上的三角函数的和差化积或积化和差，可以先在其中的二个函数中进行(遇到这种情况多半会组合出特殊角)，然后再与其他的三角函数继续进行下去．今天课上例2的第二种解法主要适用于三角函数式中的角是等差的，通常分子分母上同乘以公差一半的正弦．

二、板书设计

第三课时　习题课

三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容，这二章(第三章与第四章)从介绍三角函数的定义、性质、图象开始逐步深入，学习的进程高潮迭起，特别是从和、差、倍、半角的三角函数直到三角函数的和差化积与积化和差，既充分揭示了三角函数的内在关系，且每组公式又都有它自身的使用范围，另外三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何中都有广泛的应用，学好三角函数是学好其他数学分支的重要基础．由于三角公式相当多，所以记忆和应用就显得十分重要，安排两节习题课的目的，就是希望通过练习及比较，使学生能熟练掌握进行三角恒等变换的一般方法．

(一)复习和差化积与积化和差公式

(二)作业评讲

1．求cos20°＋cos100°＋cos140°．

解：原式=2cos60°cos40°＋cos140°

=cos40°＋cos140°

=0．

2．△ABC中，求证cos2A＋cos2B＋cos2C=-1-4cosAcosBcosC．

证明：∵A、B、C为△ABC的三内角．

∴A＋B＋C=π，即C=π-(A＋B)．

∴原式左边=2cos(A＋B)cos(A-B)＋2cos2C-1

=2cos(A＋B)cos(A-B)＋2cos2(A＋B)-1

=2cos(A＋B)[cos(A＋B)＋cos(A-B)]-1

=4cos(A＋B)cosAcosC-1

=-1-4cosAcosBcosC．

(三)范例选解

例1　求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值．

分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理．

(当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差．)

作了如下处理后，即成为三角函数一次式的和差了，自然做和差化积．

若又注意到本题的结构，以下解法也是可以考虑的．

原式=(sin20°＋sin40°)2-sin20°·cos50°

=[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°

当然，也可以这样配方

原式= (sin20°-sin40°)2＋3sin20°cos50°

例题2　求ctg70°＋4cos70°的值．

分析：由于本题余切函数与余弦函数共存，∴首先应化切为弦，接着自然是要做通分，最后再考虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同，一拆为二就是必然的了．

习题课上，教师主要讲以上二例，虽为例解，但应注意调动学生积极思考，注意学生提出的问题以及学生提出的处理方法，若方向对头应予以肯定，若方法不当也应帮助分析原因．

以下几个练习主要由学生完成，练习题预先写在幻灯片上，适时安排学生板演，习题课的形式是讲讲、议议、练练．

(四)练习题

3．tg10°＋sec50°

课堂练习题分析及解法：

2．类似本题的条件，有两条路可供选择，其一是将两式两边分别平方后再相加，但这样处理所能得到的是cos(α-β)的值，但采用这样的办法于事无补．另一条路是把两个某式左边的三角函数分别作和差化积可得到如下关系：

3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．

到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算太大了．

若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角，利用诱导公式可得如下解法．

(四)小结

三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体会的．一般说三角变换问题，首先要关注问题中的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也可以把α看作是

说三角函数的恒等变换常用的规则是：化繁为简、化高为低(降次)，化复合角为单角(和差角公式)，化切割为弦，化大角为小角，和差化积，积化和差。所有这些希望同学们通过自己的实践慢慢揣摸．

，它的功能可以把任意函数而同角的正、余弦函数转化为只含有一个函数的形状，这个变换对于函数三角函数的性质，诸如确定三角函数的周期、最值、划分单调区间等都是十分有用的，掌握好这个公式在一些看似困难的问题都能巧妙地解决，所以课本p．234中例12的内容单独安排一节课．

思考：把下列各式化为只含有一个三角函数的形式．

(ii)-sinx＋cosx，

(iii)asinx＋bcosx．

∴原式=cos60°sinx-sin60°cosx

=sin(x-60°)．

师：很好，象这样的问题只要运用三角函数的和差角公式即可了，

和正弦，那么函数能分别看作正弦、余弦的应具备什么条件？

生：函数的平方和必须为1．

师：那么，函数的平方和不是1的情况应怎样操作？后面的练习将

这样这道题也可以这样处理：

原式=sin30°sinx-cos30°cosx

=-(cos30°cosx-sin30°sinx)

=-cos(x＋30°)．

虽然这两种做法的最后结果形式也有差异，但它们实质也是相等的，这两种解法的结论都符合题意．

弦．由于余弦值为正号、正弦值为负号，这样的角终边位置在第四象限．∴

∴原式=sinxcos300°-cosxsin300°

=sin(x＋300°)．

最后提及的处理方法是解决此类问题的通法，请同学们观察这种解法的几何特征，希望大家在处理同类问题时统一地用这种解法．

现在再请一位同学提出第二题的处理办法．

生2：由于本题函数的平方和不为1，为了能将它们转化为正、余弦值，应考虑到(-1)2＋12=2

∴可以这样解决之

师：很好，应该说你们已揣摸出解这类题的真谛了，现在看看更一般的形式，即练习3(继续请学生回答问题)．

生3：模仿练习二的作法．

更简明．

本，做以下几个练习，巩固公式的变形，体会这个公式的应用．

练习题：

学生做练习，教师巡视、答疑、提示，用时约15分钟，并请一些学生板演．

练习题解答

特殊角的一次换式，很快可获得原题的解答．

2．求y=(1＋sinx)(1＋cosx)的值域．

分析：首先去括号是必然的，注意到

(sinx＋cosx)2=1＋2sinxcosx．∴原式可作如下转化，

y=1＋(sinx＋cosx)＋sinxcosx．

令sinx＋cosx=t

分析：这个函数的分子分母都含有三角函数，且已不可化简，可供

t2(1＋3y)＋2t＋1-y=0．

∵t∈R，∴△=4-4(1-y)(1＋3y)≥0．

可得3y2-2y≥0

另一种解法则是利用一次换式，简捷地解决问题

解：由已知得

2ycosx-y=sinx＋1，

∴sinx-2ycosx=-y-1．

∴y2＋2y＋1≤1＋4y2．

得 3y2-2y≤0，

(二)小结

(三)作业

1．读书p．234中例12——p．236．

2．书面作业

p．236中．4，p．238中．7．

补充作业

(3)半圆O的直径为2，A是直径延长线上一点，OA=2，B是半圆上任一点，以AB为一边作正三角形ABC．设∠AOB=θ，四边形OACB面积为S(θ)，(1)求S(θ)的解析式(2)问B在什么位置时，四边形OACB的面积最大并求最大面积．

二　解斜三角形

一、素质教育目标

(一)知识教学点

1．余弦定理．

2．正弦定理．

3．利用正弦定理、余弦定理解斜三角形．

4．利用解斜三角形的一般知识解决一些实际问题．

(二)能力训练点

1．掌握余弦定理与正弦定理的证明．余弦定理与正弦定理是解斜三角形的主要工具，这两个重要定理有多种证明方法，课本采用的是坐标法，这两个定理的形状都呈轮换对称式，而这种形式在数学问题是一种常见的形式，应训练学生识别轮换对称关系．

2．同其他数学公式一样，正余弦定理的表达式也有一些变形．如

则便于由三角形的三边求角，要求学生从本质上掌握定理内容，灵活地选用公式．

3．对于任意三角形正、余弦定理都是成立的，由于直角三角形的边、角之间的关系更特殊，所以仅在斜三角形中才便用正、余弦定理．

(三)德育渗透点

许多数学问题都是为解决实际问题的过程中产生的．测量术在人类社会的发展过程中是有悠久的历史的，在教学过程中适时对学生进行实践第一，理论来源于实践以及介绍我国古代对测量术的总结和成果，进行爱国主义教育．

二、教学的重点和难点

1．教学重点．余弦定理和正弦定理的内容及其证明，以及利用余弦定理和正弦定理解斜三角形．

2．教学难点：在解斜三角形时，主要困难有二个方面：一是选择工具，即是何时使用正弦定理，何时使用余弦定理．这必须对定理内容及问题的所求给予总结；二是解的讨论，即是判断何时一解、何时二解，这必须结合三角形全等的制定及三角函数的值域等加以考虑．

三、课时安排

本小节共安排3课时．

四、教与学过程设计

第一课时　 §3．5余弦定理

(一)复习旧课

师：初中我们已学过解直角三角形，大家回忆一下直角三角形中的边角的关系

生：Rt△ABC中有a2＋b2=c2

a=sinA．

A＋B=90°．

利用直角三角形的这些关系对任给Rt△的二边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角．

师：大家考虑下面的这个问题，△ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°求∠C．

生：过A作AD⊥BC于D，由已知条件可得：

(二)引入新课

前面的例子中，若我们把条件改为一般性条件，即△ABC中，已知AB=C，BC=a，及＜B，怎么用a、c去表示b？

生：与例题同样的解法可得

BC=ccosB， AD=csinB，∴DC=a-ccosB．

∴ b2=(csinB)2＋(a-ccosB)2=a2＋c2-2acosB．

师：很好，这个解的结论就是我们今天要介绍的解斜三角形的重要工具——余弦定理．但若已知条件分别为a，b，∠C或b，c，∠A时能有什么结论？

生：由于a、b、c，A、B、C是轮换对称的，应该有a2=b2＋c2-2bccosA，c2=b2＋c2-2abcosC．

师：板书余弦定理的三个表达式：

a2=b2＋c2-2bccosA，

b2=b2＋c2-2acosB，

c2=a2＋b2-2accosB．

提出问题：前面同学对余弦定理的证明是否正确？有否不完善的地方？

生：原推论是∠B为锐角的情况，应该还要考虑∠B为直角及∠B为钝角的情况．

师：的确如此，我们考虑问题应全面，各种情况都应考虑到，这样得出的结论才具有普遍意义．余弦定理的证明方法有多种，课本也给了一种证法，请同学们翻开课本p．239，看看课本上对这个定理是怎样证明的．

(学生读书约8分钟．)

师：大家都看了课本上的证明，我们现在来比较一下这两种做法，应该说课本上的证法更优，它的好处在于不必对角的状况进行讨论，只要建好坐标系，证明过程是相当简捷的，这种利用建立直角坐标系来证明命题的方法，我们称之为坐标法，

师：利用余弦定理解斜三角形可以解决的问题有两类，一类是已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角；另一类是已知三边，求其余的三个角．对这类问题我们常可直接使用如下变形公式

例题：△ABC中，已知a=7，6=10，c=6，求A、B、C(精确到1°)．

A≈44°．

同样可以求∠B(由学生解答)．

∠C=18°-A-B这样三个角就都求出来了．

说明：解斜三角形免不了近似计算，本书约定为了与查表时的习惯一致(包括用计算器计算)，当计算器所示结果为精确数或有效数字不少于四个的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；若保留的有效数字少于四个时，使用约等号．

(三)课堂练习题

2．△ABC中a=4，b=5，c=6求△ABC的面积．

3．ABCD为平行四边形，证明：AB2＋BC2＋CD2＋DE2=AC2＋BD2．

(学生练习，教师巡视．)

练习题解答

1．由余弦定理得

∴b=7．

2．由余弦定理得

3．如图3-5．

AC2=AD2＋DC2-2AD·DC·cosD

BD2=AD2＋AB2-2AD·AB·cosA

∵ABCD为平行四边，∴∠A＋∠D=180．AD=BC，AB=CD．

∴AC2＋BD2=AB2＋BC2＋CD2＋DA2

(四)小结

余弦定理是斜三角形中的边角的一种关系，它同样适用于直角三角形．利用余弦定理可以解决的两类问题是已知三边或已知二边一角求其他的边与角的问题，但斜三角形中的条件未必都是这两组，明天的课我们还要考虑在其他条件下怎样解三角形的问题．

二、作业

1．读书p．239——p．242．

2．书面作业　 p．243中1、2；p．254中1．

第二课时　 §3．6正弦定理

一、教与学过程设计

(一)复习旧课

师：上节课我们学习了余弦定理，请一位同学把余弦定理的内容阐述一下．

生：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即

也可以表示成

(二)引入新课

师：我们知道，余弦定理主要处理已知两边夹角求第三边或已知三边求角的问题，对斜三角形来说，已知条件也可以是二角一边或二边一对角的情况，这时余弦定理就无法施展开了，所以我们今天还要继续探究斜三角形中的边角关系．

师：先提一个问题，求△ABC的面积需要什么条件？

生：自然是一底一高了．

师：能否隐含一些？

生：已知三边或已知二边夹角．

师：好！若已知△ABC中，a、b及∠c，怎样表示△ABC的面积？

生：如图3-6，作△ABC的BC边上的高AD．

由于AD=AC·sinC=bsinC，

师：这是求△ABC面积的又一个重要公式，但这样

的证明妥当吗？

生：与上节课遇到的情况，还要分别考虑∠c为钝

角与直角的情况证明之后，这个公式才具有普遍意义．

师：是否有更好的证明呢？

生：试用坐标法来证，如图3-7．建立直角坐标系．

A坐标为(bcosC bsinC)bsinC=AD．

或记为

上述关系也是斜三角形(当然包含直角三角形)的边、角之间的关系，它恰好弥补了余弦定理中边角关系的不足，对于给定斜三角形的二角一边或二边一对角时，恰好派上用场．

我们现在要探讨的是这个k具有什么样的几何意义？

生：先往最特殊情况考虑，若A=90°，则k=a，这个a可看作是Rt△的斜边，也可看作是Rt△ABC(∠A=90°)的外接圆直径，我们可猜

师：这样推想是很合理的，我们试着来证明这组关系，现在只要看A＜90°或A＞90°时这个等式是否成立就行了，若A为锐角(如图3-8)，可得∠D=∠A．

若A为钝角(如图3-9)

∠A＋∠D=180°．

∴sinA=sinD．

综合所述，我们得到如下关系式：

它可描述成在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且这个比值为三角形的外接圆直径——这就是我们这一节课要介绍的解斜三角形的另一个重要工具——正弦定理．

例题：△ABC中，已知C=10，A=45°，C=30°，求b和S△ABC．(保留两个有效数字)

解：B=180°-A-C=75°

(三)课堂练习

3．△ABC中a=4，b=10， B=30°，求∠B．

(学生练习，教师巡视，5分钟．)

练习题解答

∵△ABC中，a＜b，∴∠A为锐角，即A=30°．

∴△ABC中，b＞a，∴∠A可为锐角，也可为钝角．∴∠B=45°或135°．

∴ 本题无解．

师：利用正弦定理可以解决两类问题；二角边或二边一对角解三角形，加上过去余弦定理可以解决的问题，同学们对解三角形的情况、条件、解的状况有否体会？

生：对于任一斜三角形，若已知二边一夹角；三边；或两角一边；这些条件的确定，三角形的形状也就确定了，所以这类已知条件的斜三角形都有唯一解了．但已知二边一对角的情况就不同了，这样的三角形可能不存在(如练习3)，即使存在，由于这样条件确定的三角形不是唯一的，所以可能一解，也可能二解，究竟一解还是二解要依三角形中的大边对大角，小边对小角的原则判断．

师：这位同学的总结很好，今天的课就到这里．

二、作业

1．读课本p．243—p．248，注意p．248图形的解释和p．248中例4．

2．书面作业p．249中1；p．254中2、4．

第三课时　 §3．7应用举例

一、教与学过程设计

(一)复习旧课

师：我们已学习了解斜三角形的重要工具——正弦定理与余弦定理，以及它们的各自用途，下面请大家再看一例

△ABC中，b=7，c=5，∠B=120°，求a．

生：依条件先用正弦定理

∴sinA=sin(60°-C)=sin60°cosC-cos60°

师：本题是否还有更合理的解法？

生：我想可以用余弦定理解．

由余弦定理得：

b2=a2＋c2-2accosB．

∴49=a2＋25＋5a

∴a2＋5a-24=0．

解得　 a=3．

师：显然第二种解法比第一种解法简捷，我们说二边一对角的条件解斜三角形一般应选用正弦定理，但若已知的角为特殊角的话，使用余弦定理是更好的．

师：余弦定理和正弦定理是解斜三角形的重要工具，有了它，任意斜三角形只要给定三个条件(其中至少有一条边)，就可以从已知的这些条件求出其余的任何边与角．在日常生活中以及工农业生产实践中存在大量解三角形的问题，今天这节课就介绍一些实际应用的例子，加深对解三角形方法的理解和

操作．

(二)应用例举

例1　如图3-11，是曲柄连杆装置的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，使活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长340mm，曲柄CB长85mm，求曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°时，活塞移动的距离(精确到1mm)．

分析：本题转化为数学问题即为如图情况，其中∠C=80°，AB=340mm，BC=85mm，A0C=340＋85=425mm，求A0A．本题的关键是求出AC的长．而在△ABC中，∠C=80°，不为特殊角，是典型的已知两边一对角，求第三边的问题，解题的途径应是使用正弦定理先求另一个对角，求为∠BAC，然后再用一次正弦定理(或用余弦定理)求AC边．