巧用圆锥曲线的范围解题 人教选修

椭圆方程中x,y的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，离心率e的范围是０＜e＜１．这些取值范围在解题中有不平凡的功效，兹举例如下：

例１Ｆ_１、Ｆ_２是椭圆的两个焦点，Ｐ是椭圆上任意一点，则的最小值是＿＿＿．（第七届“希望杯”赛题）

解　由椭圆范围知－２≤x≤２，设Ｐ点的坐标是（x₀,y₀）,则－２≤x₀≤２，由焦半径公式知（其中）

故

等号当且仅当x0=2或－２时取得，故的最小值为１．

例２　已知椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点是Ａ、Ｂ，若Ｃ上存在点Ｑ，使

∠ＡＱＢ＝１２０°，求曲线Ｃ的离心率的取值范围．

解　设Ｑ（x₀,y₀），由椭圆的对称性，不妨设Ｑ在x轴上方，即０＜y₀≤b．

∵

∴tgＡＱＢ＝代入整理得

（１）

又Ｑ点在椭圆上，故（２）

由（１）、（２）知

∴

由于y0＝０时Ｑ与Ａ或Ｂ重合，故舍去．

∴

又０＜y0≤b,故≤b．

从而可得

解得

∴．

又∵e＜１，故e的取值范围是e．

例３　以Ｆ（２，０）为焦点，直线l＝为准线的椭圆截直线y=kx＋３所得弦恰被x轴平分，求k的取值范围．

解：由椭圆的第二定义知椭圆方程为，展开化简即得

由于椭圆截直线y=kx＋３所得的弦被x轴平分，故直线y=kx＋３必经椭圆中心Ｏ′，０），即有k)＋3=0,解得

由０＜e２＜１，得０＜＜１

解之得－＜k＜０

故k的取值范围是