两角和与差的三角函数 人教必修3
教学目标
(一)知识目标
1.两角和的正弦公式；
2.两角差的正弦公式.
(二)能力目标
1.掌握Ｓ（α＋β）与Ｓ（α－β）的推导过程及公式特征；
2.利用上述公式进行简单的求值与证明.
(三)德育目标
1.培养学生的推理能力；
2.提高学生的数学素质.
教学重点
两角和与差的正弦公式及推导过程.
教学难点
灵活应用所学公式进行求值证明.
教学方法
讲练相结合法
教具准备
投影片二张
第一张：（§4.6.3 A）
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ C（α＋β）
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ C（α－β）
第二张：（§4.6.3 B）
练习题
1.求证：
2.在△ABC中，sinA＝
(0°＜A＜45°）cosB＝
(45°＜B＜90°），求sinC与cosC的值.
教学过程
Ⅰ.课题导入
首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式及两个诱导公式.
(打出投影片§4.6.3 A)
最先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨，将cos（
－θ）=sinθ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结论
Ⅱ.讲授新课
一、推导公式
师(板书)：由sinθ＝cos（
－θ）
得：sin（α＋β）＝cos［
－（α＋β）］
＝cos［（
－α）－β］
＝cos（
－α）cosβ＋sin（
－α）sinβ
又∵cos（
－α）＝sinα
sin（
－α）＝cosα
∴sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
这一式子对于任意的α，β值均成立.
师：将此式称为两角和的正弦公式：
Ｓ（α＋β）∶sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
在前面，当我们推出两角和的余弦公式C（α＋β）时，将其中的β用－β代替，便得到了两角差的余弦公式，这里，也不妨将Ｓ（α＋β）中的β用－β代替，看会得到什么新的结论
生：sin［α＋（－β）］＝sinαcos（－β）＋cosαsin（－β）
＝sinαcosβ－cosαsinβ
即：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
这一式子对于任意的α，β的值均成立.
师：这一式子被称为两角差的正弦公式：
Ｓ（α－β）：s in（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ下面，看他们的应用.
二、例题讲解：
［例1］利用和(差)角公式求75°、15°的正弦、余弦、正切值.
分析：首先应将所求角75°，15°分解为某些特殊角的和或差.
解：sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°
＝
·
＋
·
＝
cos75°＝cos（45°＋30°）＝cos45°cos30°－sin45°sin30°=
tan75°＝
sin15°＝sin（45°－30°）＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝
或sin15°＝sin（60°－45°）＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝
或sin15°＝sin（90°－75°）＝cos75°＝
cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝
或cos15°＝cos（60°－45°）＝
或cos15°＝cos（90°－75°）＝sin75°＝
tan15°＝
［例2］已知sinα＝
，α∈（
，π），cosβ＝－
，β∈（π，
），求
sin（α－β），cos（α＋β），tan（α＋β）.
分析：观察此题已知条件和公式C（α＋β），Ｓ（α－β），要想求sin（α－β），cos（α＋β），应先求出cosα，s inβ.
解：由sinα＝
且α∈（
，π）
得：cosα＝
－
；
又由cosβ＝－
且β∈（π，
）
得：sinβ＝
－
.
∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝
由公式Ｓ（α＋β）可得sin（α＋β）＝
∴tan（α＋β）＝
Ⅲ.课堂练习
(打出投影片§4.6.3 B)
生(板演)：
1.证明：右＝
＝左.
∴原式得证.
2.解：∵在△ABC中，∴A＋B＋C＝180°
即C＝180°－（A＋B）
又∵sinA＝
且0°＜A＜45°
∴cosA＝
∵cosB＝
且45°＜B＜90°
∴sinB＝
∴sinC＝sin［180°－（A＋B）］＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝
×
＋
×
＝
cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝sinAsinB－cosAcosB＝
师：讲评练习
对于练习1这种类型的习题，首先要仔细观察题目的结构，回忆有关公式，认真分析，一般遵循由繁到简的原则.
对于练习2这种类型的习题，要仔细观察已知角与所求角的关系.做好准备工作，然后着手求解.
Ⅳ.课时小结
在前面推导出的C（α＋β）与cos（
－α）＝sinα的基础上又推导出两公式，即：
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S（α＋β）)
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））
同学们要注意它们之间的区别与联系，从而熟练掌握，以便灵活应用其解决一些相关的问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本p41习题4.6 5.
(二)1.预习内容p36～p38
2.预习提纲：
利用两角和与两角差的正、余弦公式及同角的三角函数关系试推导两角和与两角差的正切公式.
板书设计
课题 | |
公式及推导 | 例题 |
备课资料
1.对等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ的正确认识是 ( )
A.一定成立
B.一定不成立
C.只有有限对α、β的值使等式成立
Ｄ.有无穷多对α、β的值使等式成立，但不是对所有α、β成立
答案：C
说明：sin（α＋β）是两角α与β的和的正弦，它表示角α＋β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比，在一般情况下，
sin（α＋β）≠sinα＋sinβ
只有在某些特殊情况下，sin（α＋β）才等于sinα＋sinβ.
例如：当α＝0，β＝
，sin（0＋
）＝sin
＝
sin0＋sin
＝0＋
＝
，这时有sin（0＋
）＝sin0＋sin
.
2.若sinα·sinβ＝1，则cosα·cosβ＝.
分析：由于sinα、sinβ∈［－1，1］
仅当sinα＝sinβ＝±1时，sinα、sinβ才有可能等于1，这时α、β的终边一定同时落在ｙ轴的正半轴或负半轴上，此时cosα＝0，cosβ＝0，故cosα·cosβ＝0.
答案：0
教学后记
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