两角和与差的三角函数 人教必修1
教学目标
(一)知识目标
1.两角差的余弦公式；
2.两个诱导公式.
(二)能力目标
1.掌握两角差的余弦公式及其诱导公式；
2.能用以上公式进行求值.
(三)德育目标
1.培养学生简单推理的思维能力；
2.使学生树立创新意识；
3.运用联系观点解决问题.
教学重点
两角差的余弦公式及诱导公式.
教学难点
灵活应用上述公式进行化简、求值.
教学方法
引导学生发现联系、规律、启发诱导式
教具准备
投影片二张
第一张（§4.6.2 A）：
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
第二张（§4.6.2 B）：
练习题
1.求证：(1)cos（α＋β）＋cos（α－β）＝2cosαcosβ
（2）cos（α－β）－cos（α＋β）＝2sinαsinβ
2.求证：
3.已知cos（α－β）＝
，cos（α＋β）＝－
求：tanα·tanβ的值.
4.已知cosα－cosβ＝
，sinα－sinβ＝－
，求：cos（α－β）的值.
教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：请同学们回顾一下上节课咱们利用平面内两点间的距离公式推导出的两角和的余弦公式.
(学生回答，老师板书)
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ(C（α＋β））
这个公式对于任意的角α、β都成立.
Ⅱ.讲授新课
师：两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果
(师生共同活动)
cos［α＋（－β）］＝cosαcos（－β）－sinαsin（－β）＝cosαcosβ＋sinα
sinβ
即：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
师：请同学们观察这一关系式与两角和的余弦公式，看这两式有什么区别和联系
生：(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.
(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.
师：请同学们仔细观察它们各自的特点.
(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.
(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.
师：不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.
如：求cos15°可化为求cos（45°－30°）或cos（60°－45°）利用这一式子而求得其值.
即：cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝
或：cos15°＝cos（60°-45°）＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°
＝
所以这一式子称作两角差的余弦公式.
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α－β）
这个公式对于任意的角α、β都成立.
师：请同学们将此公式中的α用
代替，看可得到什么新的结果
生：cos（
－α）＝cos
cosα＋sin
sinα＝sinα
即：cos（
－α）＝sinα
师：再将此式中的α用
－α代替，看可得到什么新的结果.
生：cos［
－（
－α）］＝cosα＝sin（
－α）
即：sin（
－α）＝cosα
师：这两式反映的是互为余角间的三角函数关系，对于任意的角α都成立.
(打出幻灯片A)
注意这四个公式的如下关系：
注意这四个公式的如下关系：
Ⅲ.课堂练习
下面看它们的应用.
(打出幻灯片B)
生(板演)：
1.证明：（1）左＝cos（α＋β）＋cos（α－β）
＝cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ
＝2cosαcosβ＝右
∴原式得证.
（2）左＝cos（α－β）－cos（α＋β）
＝（cosαcosβ＋sinαsinβ）－（cosαcosβ－sinαsinβ）＝2sinαsinβ＝右
∴原式得证.
师：这两式有一共同特点：左边为和差形式，右边为乘积形式.即将左边的和差形式转化为右边的乘积形式.反过来，将右边的乘积形式转化为左边的和差形式，这两式对于任意两角α、β都成立，所以又可称作为积化和差公式，它也可表述为：
(1)任意两角的余弦的乘积的两倍等于这两角和的余弦与这两角差的余弦的和.
(2)任意两角的正弦的乘积的两倍等于这两角差的余弦减去这两角和的余弦.
2.证明：左＝tan（
－α）＝
＝右
∴原式得证.
3.解：由已知cos（α－β）＝
，cos（α＋β）＝－
可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝
－
＝
即：2cosαcosβ＝
①
cos（α－β）－cos（α＋β）＝1
即：2sinαsinβ＝1 ②
由②÷①得
∴tanα·tanβ的值为
.
4.解：由已知cosα－cosβ＝
得：cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝
①
由sinα－sinβ＝－
得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝
②
由①＋②得
2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝
即：2－2cos（α－β）＝
∴cos（α－β）＝
师：要想正确求解此题，就必须在熟练公式的基础上，认真观察，仔细分析，寻求思路.
Ⅳ.课时小结
在两角和的余弦公式的基础上，进而推导了两角差的余弦公式及两个诱导公式.同学们需对这四个公式熟练掌握，灵活应用其解决一些相关问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本p41习题4.6 7.(2)(3) 8.(8)
(二)1.预习内容：p36～p38
2.预习提纲：
(1)将cos（
－θ）＝sinθ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结果
(2)将cos（
－θ）＝sinθ中的θ用α－β代替，看会得到什么新的结果
板书设计
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备课资料
.已知：α、β为锐角，且cosα＝
，cos（α＋β）＝－
，求cosβ的值.
解：∵0＜α，β＜
∴0＜α＋β＜π
由cos（α＋β）＝－
得sin（α＋β）＝
又∵cosα＝
，∴sinα＝
∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα
＝（－
）×
＋
×
＝
评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.
3.在△ABC中，已知sinA＝
，cosB＝
，求cosC的值.
分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.
解：由sinA＝
＜
知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，又cosB＝
＜
，∴60°＜B＜90°，∴sinB＝
若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能.
∴0°＜A＜45°，即cosA＝
.
∴cosC＝－cos（A＋B）＝
.
教学后记
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