例说圆锥曲线中几何量范围的求法 人教选修

圆锥曲线中几何量的取值范围是靠解不等式而得到的，因此如何根据图形的性质，结合函数的思想方法和等价转化的思想方法，列出不等式（组）成为解题的关键，构造不等式的主要方法有：配方法，判别式法，基本不等式法，函数单调性法等等.下面举例说明：

已知直线y=kx－1与椭圆有且只有一个公共点，求k、a的取值范围.

分析：这类问题常联立方程，通过讨论根的性质，确定参数的取值范围.

解：由消去y得

依题意有

又a＞0，∴a=1－4k²＞0

∴＜k＜，0＜a≤1

说明：上述处理实质上是运用函数观点，首先由已知条件找出函数关系，然后k、a相互制约出各自的范围，其程序性、操作性都很简单，是通理通法.

例2? 已知抛物线求抛物线与x轴交点的横坐标的取值范围.

解：抛物线与x轴交点的横坐标为

≥2

即≥2或≤－2，

t=0时x=1

故t∈R时，－1≤x2≤

而x1∈[－1，]，故抛物线与x轴交点横坐标的取值范围是[－1，].

说明：本题求x₂范围用的是基本不等式法.在应用该法时要注意定理成立条件.另本题还可用判别式法求x₂范围.

例3? 已知椭圆中心在原点，一条准线方程为x=1，过椭圆左焦点作斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点，若A、B分别位于一、三象限，求椭圆短轴长的取值范围.

解：设椭圆方程为（a＞b＞1），l方程为y=x＋c，由A、B分别在一、三象限，所以c＜b，而

∴0＜c＜

∴0＜b₂＜,0＜2b＜1

说明：本题是运用函数的单调性求范围.

例4? 若椭圆上有不同两点关于直线y=4x＋m对称，求m的取值范围.

法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=4x＋m对称，AB中点为M（x₀，y₀），A、B坐标代入椭圆方程相减得：

解得m范围为

法二? 设对称点A、B所在直线方程为与椭圆方程联立消去y得：

＞

说明：法一是利用点与曲线位置关系建立不等式，法二是利用一元二次方程根的判别式建立不等式，这两种方法是解决此类问题的常用方法.