棱柱 人教必修

教学目标

1.使学生掌握四棱柱的概念及类属关系；

2.通过对长方体性质的研究，培养学生的空间想象能力；

3.通过由长方形性质推导长方体性质的类比方法对学生进行辩证唯物主义的思想教育.

教学重点和难点

长方体的性质.

教具

四棱柱、平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体等模型.

教学设计过程

一、复习

1.棱柱的定义.

2.棱柱的性质.

3.什么叫四棱柱?.

二、新课

师:由复习3知:底面是四边形的棱柱叫四棱柱.(板书:1.四棱柱)

师:四棱柱有6个面，各个面的形状不同，构成不同的四棱柱，请大家观察模型总结出:

(板书上面图表，从两个不同的角度带领学生分析各面的形状对四棱柱分类)

师:由此得到问题:

1.平行六面体的各个面是什么样的四边形?直平行六面体、长方体、正方体呢?

学生甲:平行六面体的六个面都是平行四边形.

学生乙:直平行六面体的一组相对的面是平行四边形，其余四个面是矩形.

学生丙:长方体的六个面都是矩形；正方体的六个面都是正方形.

2.长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体吗?

生:不一定.因为直四棱柱的底不一定是矩形.

3.正方体是正四棱柱，正四棱柱是正方体吗?

生:不一定.因为正四棱柱的底是正方形，而侧面不一定是正方形.

(通过这组练习，使学生搞清不同的四棱柱间的区间与联系)

师:在平面几何中长方形有什么性质呢?

生:若长方形的长为a，宽为b，则对角线长为l2=a2＋b2.

另一生:若对角线与过同一个顶点的两条边的夹角分别为α，β，则有cos2α＋cos2β=1.

师:谁能证明?

(通过学生回忆，讨论后，找一学生到前面板演)

生:证明:如图1:

，， 所以

师:很好!那么在立体几何中长方体是否也有类似的性质呢?

(给学生两分钟时间思考，讨论，请一学生回答)(板书:2.长方体的性质)

生甲:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱的长的平方和.

师:你能证明吗?

此时学生乙举手，老师请他到前面板演证明.

已知:长方体AC，B₁D是一条对角线.

求证:.

证明:连结BD，

因为 B₁B⊥BD，

所以 B₁D=BD＋B1B.

又因为 BD=AD＋AB=AB＋BC，

所以 B₁D=AB＋BC＋BB.

师:通过与长方形比较，长方体还有什么性质?

生:长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ，则有:cosα＋cosβ＋cosγ=1.

已知:长方体AC₁，B₁D是一条对角线，

∠A₁B₁D=α，∠BB₁D=β，∠C₁B₁D=γ.

求证:cosα＋cosβ＋cosγ=1.

证明:连A₁D，BD，C₁D，

因为 A₁B₁⊥面A₁D，

所以 A₁B₁⊥A₁D.

在RtΔA₁B₁D中，cosα=，所以cos2α=.

同理 cosβ=，cosγ=.

故 cosα＋cosβ＋cosγ=.

(板书:性质1，性质2)

师:引申:若以D点为坐标原点，DA方向为x轴的正方向，DC方向为y轴的正方向，DD1方向为z轴的正方向，在确定长度单位后就建立了空间直角坐标系，则长方体的长、宽、高即为B1点在坐标轴上的射影，α，β，γ即为OB1与x,y,z轴的夹角，即有关系式:

(1)x＋y＋z=｜0B1｜.

(2)cosα＋cosβ＋cosγ=1.

(1)式也可以说成长方体的对角线长的平方，等于长方体三度的平方和.利用此式为计算空间两点间的距离提供了方便.

例1 有一矩形纸片ABCD，AB=5,BC=2,E,F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角.

(1)求BD的距离；

(2)求证AC，BD交于一点且被这点平分.

分析:将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A₁BCD₁，则BD恰好是长方体的一条对角线.

(1)解:因为AE，EF，EB两两垂直，

所以BD恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线，

所以.

(2)证明:因为AD∥=EF，EF∥=BC，所以AD∥=BC.

所以ACBD在同一平面内，

且四边形ABCD为平行四边形.

所以AC、BD交于一点且被这点平分.

师:通过此例可把求空间两点间距离问题转化为求长方体的对角线长的问题.

例2 长方体的一条对角线与各个面所成的角分别为α，β，γ，求证:

cosα＋cosβ＋cosγ=2.

证明:连BA₁，BC₁，BD.

因为 A₁D₁⊥面A₁B，

所以 ∠A₁BD₁即为BD₁与平面AB₁所成的角α.

同理，∠C₁BD₁=β，∠DBD₁=γ.

在RtΔA₁BD₁中，cosα=，

故 cosα=.

同理，cos.

所以 cosα＋cosβ＋cosγ=.

师:此例是长方体的对角线与各面所成的角所具有的性质，也可以作长方体的一条性质来用.

小结:本节课的内容:

1.特殊四棱柱及它们之间的关系，用集合表示为:

｛四棱柱｝｛平行六面体｝｛直平行六面体｝｛长方体｝｛正四棱柱｝｛正方体｝.

特别是长方体、正四棱柱、正方体，它们较接近，要注意它们之间的区别.

2.长方体的性质，长方体的对角线长的平方，等于长方体三棱的平方和，利用这一性质可使求空间两点间的距离问题转化为求长方体的对角线长的问题，使运算简单多了.

作业:p.58第4、5题.

思考题:(1)在例1中若沿对角线AC折起成直二面角后是否可构成一长方体，求BD的距离?若能构成长方体，是怎样的长方体?

(2)在例1中沿任一条直线l折成直二面角后如何构成一长方体，求BD的距离?