空间向量坐标运算第一课时 人教选修

空间向量的坐标运算（第一课时）

宜山高中 林贤数

教学目标：

（一）知识目标：

⒈空间直角坐标系；

⒉空间向量的坐标表示；

⒊空间向量的坐标运算；

⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系；

（二）能力目标：

⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；

⒉掌握空间向量坐标运算的规律；

3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；

（三）情感目标

由平面向量的坐标运算体系推广到空间向量的坐标运算体系培养类比推理思想和一般到特殊的辨证思维能力。

教学重点：两个向量和、差、数乘、数量积的坐标表示及应用

教学难点：空间直角坐标系的意义及空间向量的坐标

教学方法：讨论法．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

复习回顾：

（1）平面向量基本定理与空间向量基本定理？

（2）平面向量的坐标表示及运算律？

思考：如何用坐标表示空间向量？

引出课题：9.6 空间向量的坐标运算

概念解析：

1、空间右手直角坐标系的概念

⑴单位正交基底　如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。

⑵空间直角坐标系O－xyz　在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。

⑶空间直角坐标系的画法 作空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。

注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

2、空间直角坐标系中的坐标

（1）空间向量的坐标表示 给定一空间直角坐标系和向量a，且设i,j,k为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1,a2,a3）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，可简记作a＝（a1,a2,a3）。

（2）空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若

则有序数组(x,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x叫做A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。

（3）空间任一点p的坐标的确定 过p分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A、B、C三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当与i方向相同时，x＞0，反之x＜0，同理可确定y、z（如图）

3、向量的直角坐标运算

注：

知识应用

探究一：空间点和向量的坐标

例1已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别是BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中点A，B，B1，E，E1，F的坐标。

分析：要求点E的坐标，过点E与x轴、y轴垂直的平面已存在，只要过E作平面垂直于z轴交E‘点，此时|x|＝|y|＝|z|＝，当的方向与x轴正向相同时，x＞0，反之x＜0，同理确定y、z的符号，这样可求得点E的坐标。

解： A(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，E1 (0,0,1)，F(0,1,0)

变式1：求出以下向量的坐标：

（1）AB=___________；A1B1=____________。

（2）D1C=___________；E1F=___________。

变式2：据上题，在下图所示空间直角坐标系中，求出:

①点B1关于yOz平面对称点的坐标是p1______________ .

②点B1关于x轴对称点的坐标是p2 _____________.

③点B1关于原点对称的点的坐标是p3 _____________.

总结：求坐标先要建好坐标系确定单位正交基，再根据空间关系确定坐标和一些待定的参数。

探究二：空间向量的坐标运算

例2　已知a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，求a＋b，a－b，8a，a b。

解：a＋b＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1），

a－b＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9），

8a＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40），

a b＝（2，－3,5） （－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29

变式：1.若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则x=____,y=____.

2.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是______.

3.求与向量a=2i-j＋2k共线且满足a·x=-18向量x

总结：运用向量坐标运算的法则进行向量的加法，减法，数乘，数量积的运算。重点要掌握向量平行和垂直的充要条件的坐标表示。

探究三：空间向量及其坐标的运用

例3　在正方体要ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE

分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理或平移，需添加辅助线。

分析二：选基底，利用向量的计算来证明。

分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。

证明：不妨设已知正方体的棱长为2，

建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则

又

∴D1F⊥AE，又AD∩AE＝A，∴D1F⊥平面ADE

总结：

①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定。

②原点的坐标为(0,0,0)，x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z).

③要使一向量a＝(x,y,z)与z轴垂直，只要z＝0即可。事实上，要使向量a与哪一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为0。

本课小结：

1. 知能目标：

（1）空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标；

（2）掌握空间向量坐标运算的规律；

（3）会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；

2.数学方法：向量坐标法

用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标向量与点的坐标化向量的直角坐标运算 .

3.数学思想：

用向量坐标的代数运算研究几何图形的线面关系体现了数形结合思想。

由平面向量的坐标运算体系推广到空间向量的坐标运算体系体现了类比思想。

作业p42 习题9.6 3、4、5、6