教学归纳法另类认识与教法 人教选修

§1引言

数学归纳法是高中数学教学中一个公认的难点，造成这种情况的原因是多方面的，我们认为其中有一个非常重要的原因就是我们对其本质认识混乱，比如很多人认为数学归纳法其实质是一种“演绎法”，它根本就没有归纳的功能，有人甚至建议为它改名，本文笔者首先介绍自己对数学归纳法的本质认识，然后在此基础上给出在教学中如何处理的建议。

§2数学归纳法的本质

数学归纳法的本质不能仅仅用放鞭炮、推骨牌来说明（虽然的确有些类似），也不能用更加抽象的“最小数原理”来说明，让我们来看一看美国数学家R.柯朗和H.罗宾（参见《1》）是如何说的：这种方法的基本思想是――为了证明个对所有n成立的定理A，我们连续地证明一系列特殊情形A1，A2，…之所以能这样作主要是基于：1）第一个命题被证明是正确的；2）而且存在一个一般方法，它表明：如果任意命题Ar是正确的，则下一个命题Ar＋1也是正确的。这两个条件对证明所有命题都正确，是足够了――正如亚里士多德的基本逻辑规则那样，对数学来说，它是基本的逻辑原则。也许因为是翻译的原故，这段话所表达的意思并不是那么明确，我们认为数学归纳法的本质即：在我们证明一个关于自然数n的数学命题时，如果我们能够证明当n=1时它是成立的，而且我们能用相同的方法：由n=1命题成立证得n=2命题也成立；由n=2命题成立证得n=3成立；由n=3命题成立证得n=4成立…而且这个过程显然可以无穷进行下去。做到了这些我们就可以断言对于所有自然数n命题都是成立的。

上述的两位美国数学家还说到：通常在用数学归纳法原理时，并不明确地叙述出来，而只是简单地用“等等”、“一直这样做下去”这类的话来说明，这在初等数学中是常见的。

如果上述说明还不足以揭示数学归纳法的本质的话，那么我们再来看一看数学归纳法的发现历史：据史料记载数学归纳法是由一意大利数学家在十八世纪首先采用，下面就是他证明1＋3＋5＋……＋（2n-1）=n2

首先当n=1时，等式显然成立

其次，当n=2时，左边＝1＋2×1＋12＝（1＋1）2＝右边

当n=3时，左边＝1＋3＋5＝22＋2×2＋12＝（2＋1）2＝右边

当n=4时，左边＝1＋3＋5＋7＝32＋2×3＋12＝（3＋1）2＝右边

…………

依此类推下去，原等式对任意自然数均成立（说明：该历史的介绍发表在浙江师范大学数学系主编的《中学数学教与学》1986年第三期）

§3教材教法建议

教材编写者在本节之前先结合在此之前等差数列的通项公式的证明来介绍普通归纳法的概念，而把它与数学归纳法相对应，这显然是不妥当的，实际上它恰恰就是数学归纳法（参见上述第二部分内容），笔者建议还是以证明前n个正奇数的和的三种不同的方法――－演绎法、不完全归纳法及上述的原始形态的数学归纳法来介绍演绎法与归纳法的差别、数学归纳法与普通归纳法的差别，更重要的是理解数学归纳法的本质从而引出数学归纳法的严格形式（也就是我们教科书上的形式）。简述如下：

问题：证明1＋3＋5＋……＋（2n-1）=n2

法一：利用等差数列的求和公式――此乃演绎法，其特征就是典型的三段论

法二：不完全归纳法（其特征就是：特殊到一般；探索新知；不能作为一种证明方法）

法三：上述的数学归纳法（原始形态）

§4数学归纳法有归纳功能

很多人都认为数学归纳法愧对“归纳法”这个名称，它没有归纳的功能，认为它实质上是一种“演绎法”，甚至有人建议为它改名，笔者认为事实不是这样，这里我们只略举二例来说明：

例一：现行高中教科书代数下册数列这一章中，等差数列与等比数列的通项公式的得出就是用数学归纳法得来的（参见上述美国数学家R.柯朗与H.罗宾的观点）.

例二:八十年代全国初三数学竞赛题中有这样一题：平面上10条直线最多能把平面划分成几个部分？

我认为这是一道独具匠心的好题，通过这一题我们可以区分初三学生哪些具有朴素的数学归纳法的思想：其基本思想是递推，那就是先考察2条直线的情形，再利用2条直线下的结果去解决3条直线的情形；利有3条直线下的结果去解决4条直线的情形………更重要的是要发现一般的递推规律，从而得出最后的答案就是2＋2＋3＋4＋……＋10＝56，这难道不是数学归纳法吗？不是数学归纳法的归纳发现作用吗？

§4参考资料

[1](美)R.柯朗 H.罗宾著《数学是什么》科学出版社１９８５年第一版第１９页

[2]现行高中数学教材代数下册第六章