函数方程思想 人教必修
一.教材分析
1．教学目标：
（1）理解不等式、方程、多项式、集合等问题转化为函数问题题型和特点；
（2）掌握“转换角度”、“化归函数”、“构造函数”的方法；
（3）渗透化归数学思想；
(4) 培养学生辩证唯物主义观点.
2．教学重点；
将不等式、方程、多项式、集合等问题转化为函数问题的过程和化归思想.
3．教学难点：
利用“构造法”化归函数.
4.教学方法：
启发式、谈话法.
5.教学工具：
投影仪、直尺.
二.教学过程
1．情境引入，激发思维；
教师：今天上课之前，我先讲一段故事.那是1998年，学校教职工统一安装电话，一位职工的电话号码被安排为2815014，当时他很不悦意，他说“5014”的谐音是“我轮要事”或“我冻（动）要死”，所以准备化200元钱换一个号码，图个好口彩.那天电信局的师傅安装电话到他家时，他说待换好号码后再装.电信局的师傅问清原由后，灵机一动，说了一句话使这位职工恍然大悟，欣然用原来的号码安装了电话.大家想一想，这位师傅说了一句什么话？
（同学们先是个个全神贯注的听讲，现在人人都在聚精会神的思考，紧接着是窃窃私语，气氛顿时活跃）
学生1：那位师傅让他不要信迷信.
教师：答的基本上对.但是，这一句话恐怕解决不了这位职工的思想问题.大家注意了没有，问题的关键是什么？
学生2：问题的关键是数字“4”.
教师：对！换一个角度“4”的谐音读什么？
学生抢答：音乐简谱“4”读“发”！
教师：答的好！思维敏捷.那么，“5014”就成了——“我轮要发”或“我动要发”，大吉大利，还节省人民币200元.看来，有时“山重水复疑无路”，如果换一个角度就会“柳暗花明又一村”.
2．切入主题，循循善诱：
教师：请大家看这道由不等式求范围问题.（使用投影仪出示课例）
〖例1〗．对于满足0≤p≤4的实数p，不等式
x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围.
分析：设f（x）=x2＋（p－1）x＋3－p则抛物线的顶点、对称轴都不定，要求x的范围却无从下手.大家还有什么办法？对！如果换一个角度，将p看成自变量，怎么样？
学生3：〖解〗：设f（p）=（x－1）p＋（x2－4x＋3），那么问题就变成f（p）在p∈[1，4]区间上恒大于零的问题.从而，
……f（0）＞0（x－1）·0＋（x2－4x＋3）＞0
f（4）＞0（x－1）·4＋（x2－4x＋3）＞0
x＞3或x＜－1
故 x的取值范围为（－∞，－1）∪（3，＋∞）
老师：答的很好！大家可以看到：原来“山重水复”不好入手的问题，我们转换了一下角度，将x暂看为常数而把参数p当作自变量，得到了函数f（p），从而“柳暗花明”.
3．顺势利导，步步深入：
老师：大家再了看看下面的例子，考虑如何求解：
〖例2．设关于x的方程 x2－mx＋4=0在[－1，1]上有解， 求实数m的取值范围. 〗
学生4：令f（x）= x2－mx＋4 ，则问题转化为抛物线f（x）= x2－mx＋4 与x数轴
在x∈[－1，1]上有交点的问题.
老师：答的对.他是将方程的问题转化为函数图象问题来解决的.但是要注意，有交点要分为有两个交点、一个交点（是横坐标大的还是小的）.
还是化成函数问题，还有没有其它的方法？能不能也转换一个角度考虑一下？
学生5：可将m看成x的函数.
∵ x ≠0∴有 m=x＋4/x ，问题转化为求函数的值域问题.
教师：哪位同学考虑成熟了，上来将解的过程写在黑板上？
学生6：〖解〗：∵ x ≠0∴m=x＋4/x此函数显然是奇函数，
易证函数 m 在（0，1]上为减函数
∴当x∈（0，1]时，在x =1 函数有最小值 m小=1＋4=5，m∈[5，＋∞)
同理，当x∈[－1，0]时，在x=－1时 函数有最大值 m大=－5 ，m∈（－∞，－5]
故实数m的取值范围为（－∞，－5]∪[5，＋∞)
教 师：将方程的问题转化为函数图象或函数值域问题，可使方程问题迎刃而解.其中利用函数值域问题求解则更为简捷.
（出示例3）
〖例3〗．若 x、y∈ R且（2x＋y）13＋x13＋3x＋y＜0 ，求证：3x＋y＜0
同学们根据条件、结论不等式的特点或变形后的特点，看看能否也转化为函数问题？
学生7：〖证明〗：将条件化为（2x＋y）13＋（2x＋y）＜－（x13＋x ）
令 f（t）= t13＋t， 则有f（2x＋y）＜－f（x）
又 f（t）为奇函数 ，f（－x）= －f（t）
∴ f（2x＋y）＜f（－x）， 易证 f（t）在R上是增函数
∴2x＋y＜－x即3x＋y＜0
老 师：构造函数，深入浅出.解的很好！
三．学生动手实践：
请大家注意看，以下的题目用什么方法证明好？
〖设a、b、c均为绝对值小于1的实数，求证：
ab＋bc＋ca＋1＞0〗
学生8：要证ab＋bc＋ca＋1＞0，可证ab＋bc＋ca＞－1
（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3（ab＋bc＋ca）
而条件可化为 ︱a︱≤1， ︱b︱≤1，︱c︱≤1， 与结论联系不紧…
老师：思路不顺，不要紧.你善于思考，并勇于表达自己的意见，即使没有做对，但你已经有了很大的收获.大家看一看，直接证明不好入手，怎么办？
学生抢答：转化成函数问题！
老师：答的好！那么，哪个字母作自变量？请大家动手证明这个问题.
四．画龙点睛，深入浅出：
老师：今天大家积极思考、发言踊跃、配合默契.同学们再回顾一下：以上例题是采用什么方法轻松求解的？关键步骤是什么，它起了什么作用？大家动笔写一下.
（三分钟后用幻灯出示小结）
〖小结函数方程思想（课题）
(1)转化方法：
转换角度，柳暗花明；
化归函数，迎刃而解；
构造函数，深入浅出.
(2)化归思想
方程、不等式、多项式、集合等问题
函数问题
重新认识
转 化
五．课后训练：〖练习题：
1．已知 0＜a＜1，若函数y= log（a－kax） 在 [1，＋∞)上有意义，求k的取值范围.
x3＋sinx－2a=0
2．设x、y∈[－π/4/π]且4y3＋siny cosy＋a=0 ，求 cos（2y＋x）. 〗
六．板书设计（略）
七．教后笔记
以上是笔者亲自主讲的一节公开课的 教学设计，原意是想从情境引入，激发思维；切入主题，循循善诱；顺势利导，步步深入；画龙点睛，深入浅出；辨证思维，培养品质等方面进行教学设计，达到引人入胜以激发学生兴趣，教师善诱引学生多思，师生互动收显著效果.能否达到目的，欢迎同行校正、点评.
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