复数的减法及其几何意义 人教选修

教学目标

1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．

2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．

3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．

教学重点和难点

重点：复数减法法则．

难点：对复数减法几何意义理解和应用．

教学过程设计

（一）引入新课

上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）

（二）复数减法

复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（＋i）-（＋i）=（-）＋（-）i，

1．复数减法法则

（1）规定：复数减法是加法逆运算；

（2）法则：（＋i）-（＋i）=（-）＋（-）i（，，，∈R）．

把（＋i）-（＋i）看成（＋i）＋（-1）（＋i）如何推导这个法则．

（＋i）-（＋i）=（＋i）＋（-1）（＋i）=（＋i）＋（--i）=（-）＋（-）i．

推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．

推导：设（＋i）-（＋i）=＋i（，∈R）．即复数＋i为复数＋i减去复数＋i的差．由规定，得（＋i）＋（＋i）=＋i，依据加法法则，得（＋）＋（＋）i=＋i，依据复数相等定义，得

故（＋i）-（＋i）=（-）＋（-）i．这样推导每一步都有合理依据．

我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．

复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（＋i）±（＋i）=（±）＋（±）i．

（三）复数减法几何意义

我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？

设z=＋i（，∈R），z1=＋i（，∈R），对应向量分别为，如图

由于复数减法是加法的逆运算，设z=（-）＋（-）i，所以z-z₁=z₂，z₂＋z₁=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（-）＋（-）i对应，如图．

在这个平行四边形中与z-z₁差对应的向量是只有向量2吗？

还有． 因为OZ₂Z₁Z，所以向量，也与z-z₁差对应．向量是以Z₁为起点，Z为终点的向量．

能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z₁与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．

（四）应用举例

在直角坐标系中标Z₁（-2，5），连接OZ₁，向量1与多数z₁对应，标点Z₂（3，2），Z₂关于x轴对称点Z₂（3，-2），向量2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）．

例2　根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．

解：设复平面内的任意两点Z₁，Z₂分别表示复数z₁，z₁，那么Z₁Z₂就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z₂-z₁的模．如果用d表示点Z₁，Z₂之间的距离，那么d=|z₂-z₁|．

例3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．

（1）|z-1-i|=|z＋2＋i|；

方程左式可以看成|z-（1＋i）|，是复数Z与复数1＋i差的模．

几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离．方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（＋1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（＋1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．

（2）|z＋i|＋|z-i|=4；

方程可以看成|z-（-i）|＋|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆．

（3）|z＋2|-|z-2|=1．

这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．

由z₁-z₂几何意义，将z₁-z₂取模得到复平面内两点间距离公式d=|z₁-z₂|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．

例4 设动点Z与复数z=＋i对应，定点p与复数p=＋i对应．求

（1）复平面内圆的方程；

解：设定点p为圆心，r为半径，如图

由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．

（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R＋）的点Z的集合是什么图形？

解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R＋）的点的集合是以p为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．

（五）小结

我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．

（六）布置作业p193习题二十七：2，3，8，9．