反证法 (三) 人教选修

第十教时

教材：不等式证明五（放缩法、反证法）

目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。

过程：

一、 简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法

提出课题：放缩法与反证法

二、 放缩法：

例一、若a, b, c, d R＋，求证：

证：记m =

∵a, b, c, d R＋

∴

∴1< m< 2 即原式成立

例二、当 n>2 时，求证：

证：∵n>2 ∴

∴

∴n>2时,

例三、求证：

证：

∴

三、 反证法：

例四、设0< a, b, c< 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于

证：设(1 a)b>, (1 b)c>, (1 c)a>,

则三式相乘：ab< (1 a)bo(1 b)co(1 c)a< ①

又∵0< a, b, c< 1 ∴

同理： ,

以上三式相乘： (1 a)ao(1 b)bo(1 c)c≤ 与①矛盾

∴原式成立

例五、已知a ＋ b ＋ c>0，ab ＋ bc ＋ ca>0，abc>0，求证：a, b, c>0

证：设a< 0, ∵abc>0, ∴bc< 0

又由a ＋ b ＋ c>0, 则b ＋ c = a>0

∴ab ＋ bc ＋ ca = a(b ＋ c) ＋ bc< 0 与题设矛盾

又：若a = 0，则与abc>0矛盾， ∴必有a>0

同理可证：b>0, c>0

四、 作业：证明下列不等式：

1． 设x>0, y>0, , ，求证：a< b

放缩法：

2． lg9olg11< 1

3．

4． 若a>b>c, 则

5．

左边

6．

7．已知a, b, c>0, 且a2 ＋ b2 = c2，求证：an ＋ bn< cn (n≥3, n R*)

∵ ，又a, b, c>0, ∴

∴

8．设0< a, b, c< 2，求证：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同时大于1

仿例四

9．若x, y>0，且x ＋ y>2，则 和 中至少有一个小于2

反设 ≥2， ≥2 ∵x, y>0，可得x ＋ y ≤2 与x ＋ y>2矛盾