反证法 (一) 人教选修

教材：反证法

目的：要求学生初步学会反证法的步骤，并能用以证明一些命题。

过程：

一、提出问题：

初中平几中有一个命题： “过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”。

二、如何证明：

1.（教师给出如下方法）

2．指出这种证明方法是“反证法”。

定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。

即：欲证p则q，证：p且非q（反证法）

3.反证法的步骤：

1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。

3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

4.反证法：

1）反设（即假设）p则q（原命题） 反设p且非q。

2）可能出现三种情况：

①导出非p为真——与题设矛盾。

②导出q为真——与反设中“非q“矛盾。

③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。

三、例一（p32例3） 用反证法证明：如果a>b>0，那么。

证一（直接证法）， ∵a>b>0,∴a- b>0即,∴ ∴ 证二（反证法）假设不大于，则 ∵a>0,b>0,∴①或② 由①、②（传递性）知：即 a<b（与题设矛盾） 同样，若（与题设矛盾） ∴．

例二、（p32--33例4）用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

证明：反设AB、CD被p平分 ∵p不是圆心，连结Op 则由垂径定理： Op^AB，Op^CD 则过p有两条直线与Op垂直（矛盾） ∴弦AB，CD不被p平分

例三、用反证法证明：不是有理数。

证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数） 从而：，，可见m是偶数。 设m=2p（p是正整数），则 ，可见n是偶数。 这样，m.,n就不是互质的正整数（矛盾）。∴不可能 ∴不是有理数。

四、小结：反证法定义、步骤、注意点

五、作业：p33练习p34习题1．7 5 及《课课练》p33例二。