二次函数的图象、性质和应用 人教必修
1．熟练掌握二次函数的不同表示形式，二次函数的图象和性质，正确运用二次函数的不同表示形式，解决指定闭区间上二次函数的最值及其应用问题
2．培养学生用事物之间相互联系，相互影响的观点分析问题，搞清二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，为解决难度较大的综合问题打好基础．
例3已知二次函数f(x)=ax2＋bx＋c 满足条件f(2＋x)=f(2-x)，其图象的顶点为A，又图象与x轴交于B，C两点，其中B点的坐标为(-1，0)，△ABC的面积为18．试确定这个二次函数的解析式．
分析求二次函数的解析式，通常采用待定系数法．将已知条件f(2-x)=f(x＋2)转化为二次函数图象的对称轴方程是x=2成为解此题的关键．
解法一
因为f(2-x)=f(2＋x)，所以直线x=2是y=f(x)的对称轴．
又B点坐标为(-1，0)，所以C点坐标为(5，0)．
为(2，6)或(2，-6)．
设二次函数f(x)=a(x-2)2＋6或f(x)=a(x-2)2-6．
因为B(-1，0)在y=f(x)的图象上，所以a(-1-2)2＋6=0或a(-1-2)2-6=0，
解法二
设f(x)=ax2＋bx＋c．因为f(2-x)=f(2＋x)，所以直线x=2是y=f(x)的对称轴，即
又B(-1，0)在y=f(x)的图象上， 所以a(-1)2＋b(-1)＋c=0，即
a-b＋c=0． ②
评述求二次函数解析式的问题，要认真分析已知条件与表达式之间的内在联系，把握好正确选式这一重要环节．
例4如图3，二次函数图象的顶点是M(4，3)，图象交x轴于A，
的解析式．
分析由已知二次函数的顶点坐标，可决定选择式子y=a(x-4)2＋3．(a＜0)要确定f(x)的解析式，只要求出a的值即可．由四边形AMBC
面积的关键， 因而可以此为突破口．
解设f(x)=a(x-4)2＋3(a＜0
令x=0，得f(0)=16a＋3， 所以C点坐标为(0，16a＋3)．
所以f(x)=-(x-4)2＋3=-x2＋8x-13．
评述将四边形的面积转化成两个三角形面积的和，这就为A，B两点的纵坐标与a之间的联系建立了桥梁． 这是转化思想的巧妙运用．
2．二次函数的性质
例5(1) 如果二次函数f(x)=x2＋2(a-1)x＋2在区间(-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是 [ ]．
A．[，＋∞)
B．(-∞，]
C．[5，＋∞)
D．[3，＋∞)
(2) 求函数f(x)=x2-2ax-1 在闭区间[0，2] 上的最大值和最小值．
(1)分析二次函数的单调性与图象的对称轴密切相关，由
图像的开口向上，可知函数在(-∞，1-a]上是减函数，由已知f(x)在(-∞，4]上是减函数，可知1-a≥4，解得a≤，故选B．
(2)分析二次函数在闭区间[0，2]上的最大值和最小值，与二次函数在此区间上的单调性密切相关，而单调性取决于函数图象的对称轴．
解因为f(x)=x2-2ax-1=(x-a)2-a2-1，
所以函数y=f(x) 的图象开口向上，对称轴方程是x=a．(引导学生分析，由a的变化，所引起的函数f(x)在区间[0，2]上单调性的变化可能有哪些情况)
当a＜0时(如图4)，f(x)的最大值=f(2)=3-4a，f(x)的最小值=f(0)=-1．
当0≤a≤1时(如图5)，f(x)的最大值=f(2)=3-4a，f(x)的最小值=f(a)=-a2-1．
当1＜a＜2时(如图6)，f(x)的最大值=f(0)=-1，f(x)的最小值=f(a)=-a2-1．
当a≥2(如图7)，f(x)的最大值=f(0)=-1，f(x)的最小值=f(2)=3-4a．
中考 高考名著
常用成语