二倍角的正弦、余弦、正切 人教必修1
教学目标
(一)知识目标
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：
(1)sin2α＝2sinαcosα (α为任意角)
(2)cos2α＝cos2α－sin2α (α为任意角)
＝2cos2α－1＝1－2sin2α
(3)tan2α＝
(二)能力目标
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.
(三)德育目标
1.引导学生发现数学规律；
2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；
3.培养学生的创新意识.
教学重点
1.二倍角公式的推导；
2.二倍角公式的简单应用.
教学难点
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
教学方法
让学生推导倍角公式，从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，从而加深对倍角公式的理解，同时培养逻辑推理能力.(启发诱导式)
教具准备
投影片二张
第一张（§4.7.1 A）：二倍角公式：
sin2α＝2sinαcosα(α为任意角)
cos2α＝cos2α－sin2α(α为任意角)
利用sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可变形为：
cos2α＝2cos2α－1或cos2α＝1－2sin2α
第二张（§4.7.1 B）：
练习题：
1.已知cosα＝ｍ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
2.化简cos（θ＋15°）＋cos（θ－15°）－
教学过程
Ⅰ.课题导入
师：前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢 请同学们试推.
生：先回忆和角公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
当α＝β时，sin（α＋β）＝sin2α＝2sinαcosα
即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
当α＝β时cos（α＋β）＝cos2α＝cos2α－sin2α
即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)
tan（α＋β）＝
当α＝β时 tan2α＝
(打出投影片§4.7.1 A，让学生对照).
Ⅱ.讲授新课
师：同学们推证所得结果是否与此结果相同呢 其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α
同学们是否也考虑到了呢
另外运用这些公式要注意如下几点：
(1)公式Ｓ2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当α≠
＋ｋπ及α≠
＋
（ｋ∈Ｚ）时才成立，否则不成立(因为当α＝
＋ｋπ，ｋ∈Ｚ时，tanα的值不存在；当α＝
＋
，ｋ∈Ｚ时tan2α的值不存在).
当α＝
＋ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：
即：tan2α＝tan2（
＋ｋπ）＝tan（π＋2ｋπ）＝tanπ＝0
(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα
例如：
；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝ｋπ（ｋ∈Ｚ)时，sin2α＝2sinα＝0成立］.
同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα
(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为
2α的2倍，将α作为
的2倍，将
作为
的2倍，将3α作为
的2倍等等.
下面，来看一些例子：
［例1］已知sinα＝
，α∈（
，π），求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵sinα＝
，α∈（
，π）
∴cosα＝－
∴sin2α＝2sinαcosα＝2×
，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×
，
tan2α＝
(打出投影片§4.7.1 B，师生共同完成).
师：1.题中cosα＝ｍ，由此虽不能确定sinα的值，但由于已知α所在象限，所以也可确定其符号，从而求解.
生：解：∵cosα＝ｍ，α在第二象限.
∴sinα＝
∴sin2α＝2sinαcosα＝2
·ｍ＝2ｍ
cos2α＝2cos2α－1＝2ｍ2－1
tan2α＝
或由tanα＝
tan2α＝
师：2.分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.
生：解：cos（θ＋15°）＋cos（θ－15°）－
cos2θ
＝
=1＋
［cos（2θ＋30°）＋cos（2θ－30°）］－
cos2θ
=1＋
［cos2θcos30°–sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］
－
cos2θ
＝1＋
×2cos2θcos30°－
cos2θ
＝1＋
cos2θ－
cos2θ＝1
评述：二倍角公式的等价变形：
，可以进行“升（降）幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.
Ⅲ.课堂练习
生：(板演练习)课本p44 1、3、4.
解： 1.(1)2sin67°30′cos67°30′＝sin135°＝
(2)cos2
－sin2
＝cos
＝
(3)2cos2
－1＝cos
＝
(4)1－2sin275°＝cos150°＝－
(5)
＝tan45°＝1
(6)sin15°cos15°＝
sin30°＝
(7)1－2sin2750°＝cos1500°＝cos（4×360°＋60°）＝cos60°＝
(8)
3.解：∵sinα＝0.8α∈（0，
）
∴cosα＝0.6
∴sin2α＝2sinαcosα＝0.96
cos2α＝1－2sin2α＝－0.28
4.解：∵tanα＝
∴tan2α＝
Ⅳ.课时小结
要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
Ⅴ.课后作业
(一)课本p47习题4.7 1、2.
(二)1.预习课本p43例2、例3
2.预习提纲
如何灵活应用二倍角公式进行化简、求值、证明
板书设计
课题 | |
二倍角公式及推导 | 例题 |
备课资料
1.若270°＜α＜360°，则
等于 ( )
A.sin
B.cos
C.－sin
Ｄ.－cos
解：∵cos2α＝2cos2α－1
cosα＝2cos2
－1
∴
又∵270°＜α＜360° 135°＜
＜180°
∴原式＝
答案：Ｄ
2.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40° sin70°＝cos20°
∴原式＝
cos80°cos40°cos20°＝
×
3.求证：8cos4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3
证明：8cos4θ＝8（cos2θ）2＝8(
)2
＝2（cos22θ＋2cos2θ＋1）
＝2（
）＋4cos2θ＋2
＝cos4θ＋4cos2θ＋3
教学后记
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