倍角公式的应用教学设计 人教必修

教学目标

1．使学生熟练地掌握二倍角公式及其有关变形公式来解题．

2．使学生会利用倍角公式解决某些几何问题，初步学会用三角法解几何问题．

3．培养学生解决实际问题的能力．

教学重点与难点

教学重点是灵活运用倍角公式及其变形．教学难点是恰当取角作自变量，用三角法解决几何问题．

教学过程设计

师：我们上节课学习了倍角公式，请一名同学叙述一下公式内容．

生：sin2α=2sinα·cosα；

cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1；

师：倍角公式不限于二倍角，凡用单角的三角函数来表示的三倍角、四倍角等三角恒等式，都叫倍角公式．请大家想想，我们还学习了哪些倍角公式？

生：三倍角的正弦、余弦公式，即

sin3θ=3sinθ-4sin3θ；cos3θ=4cos3θ-3cosθ．

另外我还推导出三倍角的正切公式，即

师：很好．这几个公式不太好记忆，请大家找些规律，能把它们记住是最好的，但切忌死记硬背．另外还要做到会推导这组公式．

（教师应该从平时就注意培养学生的记忆能力，教会学生找规律，抓特点，多联想，这样这些公式、定理就不再是枯燥的了．）

师：下面请同学们结合所学的知识，完成两道练习．（板书）

例1求值：

（1）sin215°；

（2）cos36°·cos72°．

（给学生一些时间考虑，不要怕耽误时间，而要让学生多参与．）

师：刚才我巡视了两行，只有个别同学做出了结果，而对多数同学而言，之所以解题受阻，其主要原因是对“活”理解不够．换句话说，就是只记住了公式的直观形式，而缺乏继续推导其有关变形的能力．我们一起来看，由

即

（请学生观察公式变形后的特点，然后再进行归纳．）

师：通过观察，可以发现C′2α有两个特征．

第一，左边是正弦或余弦的二次幂，右边是余弦的一次幂，即从左至右，将正弦或余弦的二次幂化为余弦的一次幂，达到了降幂的作用；第二，左边是单角，右边是二倍角，即从左至右，将单角转化为二倍角，达到了扩角的作用．基于上述原因，我们将C2α的两个变形公式称为降幂扩角公式．

由于课本上没有这几个公式，但它们在化简和证明中又起着非常重要的作用，我们不妨称之为“二等公式”，即二倍角公式的推论，大家在做题中可以直接运用，以达到事半功倍的效果．这样，我们来看看刚才的两道题，就不难解决了．

请大家再做两道题，以体会这几个“二等公式”的重要作用．

练习求值：

（给些时间请学生思考．观察题目特点，设想解题思路．）

生：右边分成两部分，一部分是单角、二次余弦函数，另一部分是二倍角、一次正弦函数．倘若对sin2x变形，既会出正弦函数，又会出余弦函数，反而使问题更加复杂，所以我考虑对cos2x变形，从而向sin2x看齐，即：

这样变形，将其转化为正弦型三角函数，求最值便迎刃而解．

重要，是整个题目求解的关键一步．

师：非常好．同学们在学习过程中应切实重视这几个公式的应用．另外作为整个三角函数知识部分的学习，我仍然强调一个重要的字，即“活”，活字当先，想题，做题要善于联想，不拘一格．这部分知识公式多，对同学们而言是件好事，但千万不要受制于这些公式，限制自己的思维．

正弦，余弦，正切．

师：这是一个涉及平面几何的题目，因而在一些推导步骤中要使用相关的性质．请同学们思考几个问题：第一，等腰三角形中，已知底角

锐角，还是钝角，还是两种可能都有；第三，如何利用所学的三角知识求解．

生：不妨设等腰三角形顶角为α，底角为β，由三角形内角和等于180°，有α＋2β=180°，即α=180°-2β．

是锐角．也可以是钝角，而在本题中，因为是等腰三角形，所以底角不能是钝角，只能是锐角，否则破坏了三角形内角和定理．

师：同学们说得都很好，说明了平面几何知识是比较扎实的．下面请一名同学叙述如何利用三角知识求解．

因为是等腰三角形，所以β只能是锐角．因此

由α＋2β=180°，得

后，能否利用同角三角函数关系式，即sin2α＋cos2α=1，求cosα呢？答案应该是肯定的，但如何确定符号呢？

（全体学生参与讨论，对今后的学习是大有帮助的．）

生：可以利用sin2α＋cos2α=1求cosα．

师：问题圆满地解决了．从中我们受到哪些启示呢？要一题多解，要学会“自圆其说”，出现问题不怕，要有锲而不舍的精神，充分利用所学的知识，探讨问题的根源，研究解决问题的办法，寻找求解的途径，要学会学习，这对你们的成长与发展是至关重要的．

师：作为学生，仅仅利用所学的知识来完成家庭作业，来应付各类考试，从认识上是很片面的．应该学会利用知识来解决实际生活中的问题，提高你的综合素质．

例4：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积为最大？

（请学生思考，并在笔记本上画图．）

师：我们通过画图，将实际应用问题转为数学中的几何问题．如图2所示，四边形ABCD是圆O的内接矩形，对角线AC=2R．

师：你能猜想出结论吗？

（引导学生猜想，猜想是发现的开始．）

师：错了没有关系，重在参与，失败是成功之母嘛！

生：当圆内接矩形是正方形时，横截面面积最大．

（不一定叫成绩好的学生，而是胆大者，思维活跃者．）

师：听着有道理，很不简单，但口说无凭，怎样才能验证结论呢？

（既鼓励大胆猜想，又提出更高要求，使学生仍处于亢奋境地．）

师：这道题其实涉及最值问题．我们以前所学的哪些知识可以求最值？

（温故而知新，让学生不断地去想．）

生：利用二次函数求最值．

教师：很好．二次函数是非常重要的一段知识，你能试着解解吗？

（及时肯定学生的想法，激发学生的兴趣，对培养学习能力是十分重要的．）

生：如图2所示，圆O的内接矩形ABCD的面积S=AB·BC，而AB，BC均在Rt△ABC中，因此只需研究Rt△ABC中的边与边的关系．若以一边AB作为自变量x，则另一边BC可求，从而矩形ABCD的面积可表为x的函数．即：

以，矩形面积表示为

S2=x2·（4R2-x2）=-x4＋4R2x2=-（x2-2R2）2＋4R4．

S最大值=2R2．

时圆内接矩形为内接正方形．

师：很好．看来这位同学在二次函数部分所学的知识是很扎实的，解题步骤也很清晰，但作为本题而言略有不足，谁发现了呢？

生：这不是一道纯数学味道的有关最值的题目，而是一道应用题，所以应该以答题的形式明确对圆木怎么锯法才能使横截面的面积最大．

（这是很容易忽视的一个问题，只把应用问题转化为数学问题固然重要，但也应该将最后的结论还原为应用问题的解答，以培养和训练学生的表达能力．）

生：以圆木的直径为对角线，锯成横截面为正方形的木料时，横截面的面积最大．

师：这是典型的代数法求最值，以线段作自变量，寻求面积函数关系式后，用配方法求函数最值．此外本题还可以用判别式法（看作x2的二次方程）求最值，请同学们课下做做．将来随着学习的深入，还可以利用平均值不等式求最值．但是不论怎样，求解过程都比较繁琐．结合我们所学的三角部分知识，今天来探讨另一类重要的求最值方法——三角法．

（板图，教师讲解．）

师：区别于代数法的以边作自变量，三角法顾名思义，就是以角作自变量，寻求面积的函数关系后，进而求最值．

BC=2R·sinθ，AB=2R·cosθ．

从而S=AB·BC=2R·cosθ·2Rsinθ

=4R2sinθ·cosθ=2R2sin2θ．

所以当sin2θ=1时，S最大值=2R2，即：当2θ=90°，θ=45°时，圆内接矩形面积最大，这时圆内接矩形为正方形．

答：以圆木的直径为对角线，锯成横截面为正方形的木料，此时横截面面积最大．

（教师不要急于小结本题，而是给学生时间，请他们回味数学的奥妙所在，自己对两种方法作比较．）

师：两种方法都是我们求最值的主要手段，就本题而言，显然三角法简便一些．它的关键是适当选取角作自变量，寻找面积函数，探求面积的最值．

师：上题中倘若改变一下已知条件，请同学们根据所学的知识作出判断．

（1）若把上述问题中的圆木改换成半圆木，要锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？如图4所示．

（2）若将上述问题中的圆木换成圆心角为90°的扇形圆木，结论又将如何呢？如图5所示．

（我想大多数学生会运用三角法求解，关键是如何选取角作自变量，寻找面积函数，请学生充分讨论后，上黑板书写解题过程．）

BC=R·sinθ，AB=2R·cosθ．

所以S=AB·BC=2Rcosθ·Rsinθ=R2sin2θ．

当矩形长是宽的2倍，即如图4那样截取时，矩形面积最大值为R2．

（上题的答题有一定难度，可适当降低对学生的要求．）

生：连结OC．设∠BOC=θ（0＜θ＜90°），则

BC=R·sinθ，OB=R·cosθ．

所以

答：以直角扇形的对称轴所在线段作为对角线，锯成横截面为正方形的木料时，横截面的面积最大．

师：（小结）

这一节课我们在二倍角公式的基础上，又推导出几个重要的“二等公式”，它们常常是我们做题中重要的变形手段，请大家掌握．另外我们也初步探讨了几何量的最值问题，解决这类问题的方法较多，三角法是其中的一种重要方法，它的基本步骤是：

（1）寻找与探求结论有关的三角形．

（2）适当选取角作自变量，寻求函数关系．

（3）适当进行三角恒等变形后，再根据自变量的取值范围来确定函数的最值，从而最终得出结论．

作业课本p225习题十六第3题．

补充题

正切．

2：已知：矩形ABCD的长AB=a，宽AD=b．试求：它的外接矩形EFGH面积的最大值和它的对角线长的最大值．

课堂教学设计说明

这份教案是倍角公式变形及运用一堂课的实录，师生共同参与，以问答的形式，详细地叙述出来．倘若只是为了自己教学，只要记下教学过程即可：

1．复习倍角公式并提出新问题．

2．结合题目引出降幂扩角公式．

3．利用降幂扩角公式求最值．

4．应用倍角公式求解三角形中内角的三角函数．

5．应用倍角公式解决实际应用问题．

6．小结，作业．

这节课是在上节倍角公式的基础上，进一步深化，并将其巧妙地应用到解决实际应用问题中．降幂扩角公式作为倍角公式的变形公式，可将三角部分中一些高次问题降为一次，将半角、或单角转化为倍角，它的作用在做题中是很明显的，关键是如何让学生真正理解并适时地应用它．课程中我以先提问题来教导学生仅仅死记公式，而缺乏灵活地应用必然会处处碰壁，进而抛出降幂扩角公式，让学生体会它的作用，以加深对它的认识．我认为这是主动的，有效的接受知识，而不是被动的，机械的记忆．教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程展示到学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．有一句话说得很有哲理“人类失去联想，世界将会怎样．”因此，我们作为教师应当把教会学生如何学习放在首位．

这节课的另一个重点是圆内接矩形的那道应用题，主要是想培养学生的解决实际问题的能力．这样的题目实际上是对学生能力的考察．在提倡素质教育的今天，如何将课堂上所学的知识用来解决实际中的问题，以提高学生综合素质，是值得广大教师深思的．教学中首先展示的是学生容易想到的二次函数的方法，是“温故”；运用所学的三角知识简单而迅速的解决问题，是“知新”．二者进行对比，使学生了解到不同方法的优缺点，是“升华”．又针对半圆，四分之一圆的情况进行了研讨，学生对用三角法解题中最难的问题，即选择自变量有了更加深刻的理解，定会将它用到今后的学习中．这样学生对所学知识在实际中的作用有了直观的认识，同时又学到了新的解题方法，教师的教学目的就达到了．