半角的正弦、余弦和正切 人教必修

目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。

过程：

一.解答本章开头的问题：（课本 p3）

令DAOB = q , 则AB =acosq OA =asinq

∴S矩形ABCD=acosq×2asinq =a2sin2q≤a2

当且仅当 sin2q = 1，

即2q = 90°，q = 45°时, 等号成立。

此时，A,B两点与O点的距离都是

二.半角公式

在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的

求证：

证：1°在中，以a代2a，代a 即得：

∴

2°在中，以a代2a，代a 即得：

∴

3°以上结果相除得：

注意：1°左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。

2°公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切

3°上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）

4°还有一个有用的公式：（课后自己证）

三.万能公式

求证：

证：1°

2°

3°

注意：1°上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆）

2°这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切

即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，

可以使解题过程简洁

3°上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小

2. 已知，求3cos 2q ＋ 4sin 2q 的值。

解：∵ ∴cos q 1 0 (否则 2 = - 5 )

∴ 解之得：tan q = 2

∴原式

四.小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主）

作业：《精编》p73 16