点到直线的距离 人教必修

教学目标：（1）理解点到直线距离公式的推导过程.

（2）会求点到直线的距离.

　（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神.

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

一、引入

点到直线的距离是指过点作的垂线，与垂足之间的长度

【问题1】已知点（-1，2）和直线：，求点到直线的距离．

（由学生分析、解答）

分析：先求出过点和垂直的直线：，再求出和的交点

∴

如果把问题1一般化就有如下问题：

【问题2】已知：和直线：（不在直线上，且，），试求点到直线的距离．

二、点到直线距离

分析1：要求的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求的长度．

∵点坐标已知，∴只要求出点坐标就可以了．

又∵点是直线和直线的交点

又∵直线的方程已知

∴只要求出直线的方程就可以了.

即：←点坐标←直线与直线的交点←直线的方程←直线的斜率←直线的斜率

（这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结）

问：这种解法好不好，为什么?

根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出

分析2：如果垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段和，如图1所示，显然相对而言，和好求一些，事实上，设到直线的距离为，坐标为，坐标为，则易求：

，

所以：，

所以：

根据三角形面积公式：

所以：（至此问题2已经解决）

公式的完善.

容易验证（由学生完成）：

当，即轴时，公式成立；

当，即轴时，公式成立；

当点在上时，公式成立．

公式结构特点

师生一起总结：

（1）分子是点坐标代入直线方程；

（2）分母是直线未知数、系数平方和的算术根．

类似于勾股定理求斜边的长

三、检测与巩固

练习1

（1）到直线的距离是________．

（2）到直线的距离是_______．

（3）用公式解到直线的距离是______．

（4）到直线的距离是_________．

订正答案：（1）5；（2）0；（3）；（4）．

练习2

1．求平行直线和的距离．

解：在直线上任取一点，如，则两平行线的距离就是点到直线的距离．

因此，＝＝

【问题3】

两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线与0的距离．

解：在直线上任取一点，如

则两平行线的距离就是点到直线的距离，（如图2）．

因此，＝＝

注意：用公式时，注意一次项系数是否一致．

四、小结作业

1、点到直线的距离公式及其推导；

师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：

2、利用公式求点到直线的距离．

3、探索两平行直线的距离

4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离．