导数的应用习题课 人教选修

教学目标掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值

教学重点多项式函数的单调区间、极值、最值的求法

教学难点多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用

一、课前预习

1.设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则是这个区间内的＿＿＿＿＿.

2.设函数在及其附近有定义，如果的值比 附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个＿＿＿＿＿＿.

3.如果在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：

（1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；

（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数在这个根处取得极＿值；如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数在这个根处取得极＿值.

4.设是定义在[a，b]上的函数，在(a，b)内有导数，可以这样求最值：

（1）求出函数在(a，b)内的可能极值点（即方程在(a，b)内的根）；

（2）比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

二、举例

例1.确定函数的单调区间.

例2.设一质点的运动速度是，问：从t＝0到t＝10这段时间内，运动速度的改变情况怎样？

例3.求函数的极值.

例5.求函数在[－2,2]上的最大值和最小值.

例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？

例7.求内接于抛物线与x轴所围图形内的最大矩形的面积.

例8.某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的函数：，试问：当生产水平为x＝10万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？

三、巩固练习

1.若函数在区间[a，b]内恒有，则此函数在[a，b]上的最小值是＿＿＿＿

2.曲线的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

3.设函数在x＝1处取得极大值－2，则a＝＿＿＿＿.

4.求下列函数的单调区间：

（1）（2）

5.求下列函数的极值：

（1）， （2），[－4,4]

6.求下列函数的最值：

（1），[－3,10] （2），[－1,4]

7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总成本函数为，（其中a＞0，b＞0，c＞0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.

8.一个企业生产某种产品，每批生产q单位时的总成本为（单位：百元），可得的总收入为（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？

9.在曲线上找一点（），过此点作一切线，与x轴、y轴构成一个三角形，问：为何值时，此三角形面积最小？

10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为，通过市场调查，可以预计这种彩电的年需求量为，其中p（单位：元）是彩电售价，q（单位：台）是需求量.　试求使利润最大的销售量和销售价格.