制成一个尽可能大的无盖长方体教学设计2

〖教学目标〗

1．通过观察、猜测、操作、抽象、交流、合作、推理与反思等一系列活动，感受从实际问题抽象出数学问题―建立数学模型―综合应用已有的知识解决问题的过程。

2．在解决问题的过程中进一步丰富空间观念与符号感。

3．通过借助已有的信息去推断事物变化趋势的活动，发展推理能力。

4．在解决问题的过程中体验数学知识之间的内在联系，初步体验数学是一个整体。

5．初步获得一些研究问题的方法和经验。

6．通过参与数学活动，体验数学活动充满着探索与创造；通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

〖教材分析〗

这是学生初中阶段第一次进行课题学习，学生需要综合有关的知识和方法，通过解决问题的方式去获得对相关知识与方法的进一步理解，并体会各知识内容之间的联系。

本课题学习旨在通过学生经历实验、想像、分析、猜测、交流、推理和反思等一系列过程，综合图形的展开与折叠、字母表示数以及用代数式的值去推断代数式所反映的规律，从而在提高学生综合运用知识能力的同时，培养学生的实践探索及创新能力，并且有利于进一步推动学生学习方式的改变，加强学生的合作、交流以及事必求真的科学精神，更好地激发学生的学习热情。

这部分内容的教学重点是，引导学生探索如何设计并制作无盖长方体形纸盒；教学难点是，正确得到长方体形纸盒的展开图。

〖学校及学生状况分析〗

学生已经基本完成了本册数学的学习，有了一定的空间观念、数感及符号感，学会了用字母表示数，会初步应用统计知识来描述事物的特性，对数学学习方法也有了一点认识，具备了进行本课题学习、研究的基本条件和能力。

〖教学设计〗

(第一课时)

(一)点明课题，分组分工

本节课的任务是――利用正方形纸片做成尽可能大的长方体形纸盒，并将全班学生分组。学生自主分工，明确各组内每人的工作职责，每组设组长一名，发言代表一名，统计员一名，操作员一名。

(二)创设情境，提高问题

教师展示长方体形的纸盒，提出问题：

1．根据我们的任务目标，我们应该怎样开展工作?

带领学生制定、交流、完善计划。在学生制定计划后，提出问题：

2．做一个长方体形的纸盒需要一个什么样的纸片?换句话说，这个长方体形的纸盒的展开图是什么样的呢?你能尝试把它画出来吗?

3．如果要利用一张正方形的纸来做这个纸盒，你觉得应怎样剪?怎样折?

4．剪去的部分是什么形状?它的边长与折成的无盖长方体形纸盒的高有什么关系?

5．你能想像出将要做成的纸盒的样子吗?

总之，引导学生制定计划，通过对纸盒展开图的想像及动手实践，进一步对正方形纸片将要做成的纸盒进行想像及考察，使学生学会一点方法，并培养他们的空间观念。

(三)分组合作，设计制作

各小组根据讨论结果，合作制作一个纸盒(教师统一发放纸片)。完成后各小组分别展示。展示后，教师启发学生提出、完成下列问题：

1．计算纸盒的表面积和容积。

2．如果设这张正方形纸的边长为a，所折无盖长方体形纸盒的高为h，那么你能用a与h来表示这个无盖长方体形纸盒的容积吗?请用公式表示。

3．如果要使纸盒的容积变大一些，你认为应该怎样做?

4．随着剪去的小正方形的边长逐渐增大，所折纸盒的容积将如何变化?当小正方形的边长取什么值时，所折纸盒的容积最大?此时，纸盒的容积是多少?请利用学过的数学知识探索纸盒容积与剪去的小正方形的边长之间的关系。

附：统计表及折线统计图

图1

图2

(四)展示制作结果，进行交流总结

展示各组成果之后，进行交流总结，学习他人经验，进行评价。在评价时引导学生从以下几方面讨论：

1．你们组是怎样剪、折的纸盒?

2．制作的纸盒是否规范、合理、美观?

3．从刚才的交流中，你有什么体会，或者说你能从同学那里学到些什么?

4．在整个纸盒的制作过程中，用到了我们本学期所学的哪些知识和方法?你认为何时纸盒容积最大?

(五)小结

通过本节课的学习，我们复习了本学期的有关知识，看到了数学在日常生活中的应用，并利用统计的方法看到：当剪去的小正方形的边长是3cm时，所折纸盒的容积最大。那么，用这样一张纸片去做纸盒，最大只能这样吗?如果不是这样，你认为应该怎样去做，结果将会怎样呢?我们将在下一节课继续研究。

(第二课时)

(一)深化思维，探索研究

在上节课我们看到：当剪去的小正方形的边长是3cm时，所折纸盒的容积最大。你有不同想法吗?如果我们把小正方形的边长在2.5cm到4cm之间进行细分，按0.5cm的间隔取值，即分别取2.5cm，3cm，3.5cm，4cm时，折成的无盖长方体形纸盒的容积将如何变化?请你利用学过的统计知识来表示这个变化状况。附：统计表及折线统计图

图3

图4

如果我们把小正方形的边长在3cm到4cm之间再进一步细分，按0.25cm的间隔取值，即分别取3cm，3.25cm，3.5cm，3.75cm，4cm时，折成的无盖长方体形纸盒的容积将如何变化?请你再次制作一个统计表或适当的统计图，表示这个变化状况。

附：统计表及折线统计图

图5

图6

如果我们继续细分下去，你认为结果还会发生变化吗?显然，它将越来越接近于准确值。这种不断细分、不断逼近的办法是数学中一个研究问题的有效方法。当然，对这个问题，以后我们还会有其他的解决办法。

(二)自主探究，寻找规律

如果用一张边长为30cm的正方形纸片，请大家设法找出何时纸盒的容积最大?你认为有什么规律吗?

下面请大家看屏幕，观察剪去的小正方形边长与原正方形边长，它们之间有何关系?(注：设计3组小课件，让学生观察随着剪去的小正方形边长的变化，纸盒的容积是怎样变化的。)你认为有什么规律吗?

如果用一张边长为acm的正方形纸片，依据我们发现的规律，你觉得应怎样做才能使纸盒的容积最大?(剪去的小正方形边长是原正方形边长的16时，纸盒的容积最大。)

(三)分组合作，设计制作

现在，请用这张正方形纸片(发放统一规格的纸片)，做一个容积最大的无盖长方体形纸盒，3分钟后，将进行全班评比，由学生确定评比的标准：

1．制作的纸盒是否规范、美观?

2．制作的纸盒是否达到容积最大?

3．哪个小组制作的纸盒更富有创意?

(四)展示制作结果，进行交流总结

展示各组成果，进行交流总结，学习他人经验。就以上方面讨论评价，并交流：

1．在刚才的交流评比中，你有什么体会，或者说你能从同学那里学到些什么?

2．在整个问题的解决过程中，你学到了或用到了哪些知识和方法?

(五)延伸拓展，创新改进

如果在实际生活中要用到这样一个纸盒，我们应该做怎样的改进呢?请大家交流讨论。然后小组间进行交流。

(六)作业

请大家课下每人动手做一个这样的纸盒，要求尽可能利用学过的平行线、三角形、正方形、长方形、平行四边形、等腰梯形、圆等图形来设计纸盒的外表，更欢迎大家自行设计制作各种形状的纸包装盒。我们将在全班范围内进行评比展示。

〖教学反思〗

1．“课题学习”是本册书的最后一课，是数学课程中一个新的学习内容，属于《标准》的“实践与综合应用”学习领域，在本质上是解决问题的活动。它改变了传统数学课程以学科为中心的体系和直线式的结构，体现了知识的综合性，体现了不同数学内容之间的联系，体现了综合运用多种数学思想方法、手段表示和解决问题的过程，为发展学生综合运用数学知识解决问题的能力提供了很好的素材。

另外，由于问题设计的开放性、学习方式的合作性，以及学生动手实践探索活动的加强，极大地促进了学生学习方式的改变。

2．学生对课题学习非常陌生，因此在设计中充分注意启发学生设计学习流程，把握知识，发展能力，使学生学会学习，以实现学生学习的“可持续”发展。同时，利用这一内容的开放性特点，让不同的学生在学习的过程中都有所得、有所悟，并将教材的结论加以发展，在完成学习目标的基础上，更好地激发了学生学习数学的热情。

3．本课题学习的设计与实际教学中还应该更好地发动学生加强学习素材的准备，让学生在熟悉的生活中去发现数学、感悟数学。

〖案例点评〗

“课题学习”是以“课题”为标志的研究型学习，其本质是一种解决问题的活动。姜仲平老师在本课设计中确定要以数学活动为载体，指导学生进行研究性学习，并在这个过程中，把学生当做活动的主体，引导学生独立思考、自由探索，同时积极体验与他人合作交流。这样使学生更好地发挥主动性、创造性、协作精神，把学习知识方法、应用知识、探索发现、使用计算器工具和建模求解更好地结合起来，使学生在这个过程中得到“微科研”的体验，从而达到学好数学、提高素质、增长才干的目的。为了促进学生积极展开思维活动，姜老师在教学设计中体现了以下几点：

1．创设好问题情境。

为了给学生创设进行探究的余地和思考的空间，关键要使提出的问题或题组不仅具有启发性、挑战性，还要注意结合学生的实际水平，分层次逐步推进。姜老师在设计中注意把握数学应用、数学建模与学生已有的数学知识的“切入点”，提出带有一定悬念的问题或题组，引导学生在学中用、在用中学。另外，问题情境的设计不单单是问题本身的设计，而且还应充分考虑问题的引入方式、解决方式，能激发更多的学生自发地参与到问题解决中去。

2．关注学生经历数学的建模过程。

本课题问题的解决，需要建立数学模型V=(a-2h)2h(正方形纸边长为a，所折长方体形纸盒的高为h)来进行探索研究。在这个过程中，姜老师及时地捕捉建模的切入点，创设学生运用展开折叠进行试验、展示和争辩不同方案，制作动态的、直观的展示长方体纸盒体积随高度变化规律的课件，以及强调计算器的使用等等，尽可能给学生更多的机会，使学生经历从实践中提出问题、操作实验、猜想、分析、争辩、交流、推理，一直到发现新规律，使学生体会数学与现实生活的联系，体会建立数学模型解决实际问题的重要性，认识和实践这种建立数学模型去解决问题的方法。

3．重视发展学生的创新思维。

姜老师充分注意在问题的解决过程中不断启迪学生积极思维和反思，进行更高层次的思考。在这个过程中，尤其注意捕捉学生的发现作为新的思维素材，引导学生探索发现新的规律，从而促使学生创新思维的发展。

4．突出体现师生、生生之间在课题学习中相互作用及相互促进的过程。

一方面，姜老师注意创设多边、丰富多样的信息交流与反馈的机会；另一方面，姜老师特别关注每个教学环节学生的参与、合作、情绪及生成状态。在小组的划分、成员的分工上，教育学生既要通力协作，又要履行自己的职责。在设计研究活动时，特别考虑学生的实际能力和水平，起点适当，形式有利于更多的学生参与，努力体现教师是学生的引导者、组织者和合作者。

总之，姜老师在课题学习的设计中，目的并不仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识，也不仅仅为了解决一些具体的问题，而是通过课题学习发展学生的创新思维，培养学生的创新意识、数学能力和数学素质，让学生获得一些研究问题、解决问题的方法和经验。