消元

§8.2消元----解二元一次方程组（ 第二课时）

【教学重点与难点】

教学重点：用加减法解二元一次方程组。

教学难点：灵活地对方程进行恒等变形使之便于加减消元

【教学目标】

1. 会 用加减法解二元一次方程组

2.. 进一步体会解二元一次方程组的基本思想----消元

3. 在探究方程组解法的过程中，发展学生的观察、分析及运算等基本能力.

【教学方法】

教师利用实际问题创设情境，让学生在尝试解决问题的过程中复习已有知识，并通过自主探索、合作交流等方式获得新知识、新方法. 不同层次、不同侧面变化的问题，引领学生积极思考，多方面尝试、比较，积累经验、训练技能.教师的适时点拨，精炼概括，使学生的思维逐渐清晰条理，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中发展能力，形成技能技巧.

【教学过程】

一、创设情境 提出问题

（设计说明：从学生熟悉的背景中提出问题，在复习回顾已有知识的基础上进入对新知的探究.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能）

问题：买3瓶苹果汁和5瓶橙汁共需23元,买2瓶苹果汁比5瓶橙汁少用11元,每瓶苹果汁和每瓶橙汁售价各是多少?

若设每瓶苹果汁售价是x元，每瓶橙汁售价是y元，则可以列出方程组 ，你能求出这个方程组的解吗?.

学生列出方程组后，为下一步解方程组时方便，教师引导学生将方程组写成下面的形式

3x＋5y=21 ①

2x－5y= -11 ②

（教学说明：教师提出问题，学生尝试解答.对于列方程组，学生不会感到困难，列出方程组织后如何解，是本课研究的重点，应放手让学生充分思考交流.为了减小问题的难度，教师引导学生把方程组写成一般形式）

二、探索新知 解决问题

问题1. 解方程组

3x＋5y=21 ①

2x－5y= -11 ②

（设计说明：学生在把握了解二元一次方程组的基本思想之后，可能会对遇到的问题从不同角度思考，从而找到多种解决途径.充足的思考交流时间，保证学生充分体会不同解法的步骤、依据）

学生尝试解方程组，教师巡回观察指导，并请三位解法不同的同学到黑板上板演

结合板演，让学生说明各自的解法，并简要说明自己是如何考虑的，最后教师简要总结：这个方程组主要有三种解法

1、把②式转化为 x=形式然后代入①，用的是我们已经熟悉的代入消元法.

2、把②式转化为5y=2x＋11，然后把5y看成是一个整体，就可以直接代入①得3x＋2x＋11=21,解得 x=2,同样可以达到消元的目的.

3、因为5y和-5y是互为相反数，那么我们考虑把①＋②

可以得到 5x=10

解得 x=2

将x=2代入①，得 6＋5y=21

解得 y=3

所以方程组的解是 x=2

y=3

上述解法虽有不同之处，指导思想却是相同的-----消元，化二元方程组为一元一次方程.1，2两种做法其实都是代入消元法，第3种做法叫加减消元法.这节课我们的主要任务就是学习如何用加减法解二元一次方程组

（教学说明：先放手让学生做，然后结合学生的做法比较、归纳，使学生初步感受解二元一次方程组可以根据题目特点选择合适的方法.同时激发学生探究的欲望：具备怎样特点的方程组适合用加减法解呢?）

问题2. 试一试 解方程组

（设计说明：仿照问题1中的解法3尝试解方程组，进一步体会加减消元法是如何实现消元这个目标的，为归纳用加减消元法解二元一次方程组的步骤做好准备

分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。

解：由①＋②得 19x=11.6 x=

把x=代入①得y=- ∴这个方程组的解为

学生独立解答，一名学生板演，教师巡视.学生做完后做短暂交流，师生共同归纳用加减消元法解二元一次方程组的条件、步骤

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

思考：当方程组中两个二元一次方程同一未知数的系数绝对值不相等时，能否用加减法消去一个未知数，得到一个一元一次方程?

（教学说明：学生独立思考解答之后，教师结合具体问题说明加减消元法的意义、条件及步骤，并利用思考中的问题引导学生进一步探究加减法解方程组的一般步骤）

问题3. 用加减法解方程组（1）

（设计说明：问题3与问题2相比复杂得多，不过由于有前面的探究做准备，学生能想到设法将问题3转化成问题2的形式去解决，这一方面训练学生知识迁移能力，另一方面为归纳总结用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤做准备）

分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。

解：①×3,得 9x＋12y=48 ③

②×2,得 10x-12y=66 ④

③＋④,得 19x=114

x=6

把x=6代入①，得3×6＋4y=16

4y=-2, y=-

所以，这个方程组的解是

议一议：本题如果用加减法消去x应如何解?解得结果与上面一样吗?

解：①×5，得 15x＋20y=80 ③

②×3,得 15x-18=99 ④

③-④,得 38y=-19

y=-

把y=-代入①，得3x＋4×(-)=16

3x=18

x=6

所以，这个方程组的解为

如果求出y=-后，把y=代入②也可以求出未知数x的值。

用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

第一步：在所解的方程组中的两个方程中，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程两边相减，消去这个未知数.

第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元.

第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母，去括号，合并同类项等），通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑.

（教学说明：先让学生思考交流解决问题的办法，明确路子后再写出解答过程，并请一名学生板演，最后结合板演订正师生共同总结接替的方法、步骤）

问题4. 解方程组 2x＋3y=12 ①

3x＋4y=17 ②

（设计说明：利用此题，让学生进一步熟悉用加减法解方程组的步骤，规范格式，训练运算技能）

解：①×3, 得6x＋9y=36 ③

②×2，得6x＋8y==34 ④

③－④,得y=2

将y=2代入①， 得x=3

所以原方程组的解是 x=3

y=2

　 （教学说明：学生独立解答后交流订正，进一步体会加减法解方程组的步骤及每一步的目的，使学生逐步形成较为明晰的知识体系）

三、巩固训练 熟练技能

（设计说明：通过形式不同的练习，训练学生用加减法解方程组的运算技能.）

1.（2007浙江丽水）方程组 ，由②①，得正确的方程是（ ）

A. B. C. D.

答案：B

2. 教材102页 1（2）、（3）

（教学说明：1题口答，2题板演，集体订正）

四、反思总结 情意发展

（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）

问题1：本节课你学习了什么?

问题2：本节课你有哪些收获?

问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?

（教学说明：利用上述问题引导学生回顾自己的学习历程，进一步反思、提炼所学知识、方法，构建新的知识体系）

五、课堂小结

1．本节主要学习用加减法解二元一次方程组

2．主要用到的思想是消元、转化思想，主要方法是整体代入法、加减消元法.

3．注意的问题:

（１）解二元一次方程组的基本思想是消元，具体怎样做，要根据题目特点而定.

（２）思路方法清晰并不代表运算技能形成，要有意识的进行限时训练，提高运算的速度与准确度.

（３）列、解方程组并重，在解决问题的过程中提高运算水平.

六、布置作业

教材102页 练习1（1）、（4），2，教材103页3

（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习题主要训练用加减法解二元一次方程组）

七、拓展练习

1.（2007江苏苏州）方程组的解是 （ ）

A． B． C． D．

答案：D

2.（2007湖南株州）二元一次方程组的解是：（ ）

A. B. C. D.

答案：A

3.（2007山东青岛）解方程组：

①×3，得 6x＋3y＝15． ③

②＋③，得　7x＝21，

x＝3． …………………………3′

把x＝3代入①，得2×3＋y＝5，y＝－1．

∴原方程组的解是

4. （2008杭州）课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）?

如果假设鸡有只，兔有只，请你列出关于，的二元一次方程组，并写出你求解这个方程组的方法。

方程组如下: ,

可以用代入消元和加减消元法来解这个方程组.

（设计说明：在掌握基础知识的基础上，拓展学生视野，提高学生的学习兴趣。）

【评价与反思】

1.做中学----做中感悟，练中提高：从较简单的问题开始学习加减法解方程组，积累一定的经验之后归纳出加减法解方程组的意义、做法，再进一步探究较复杂方程组的一般解法，并利用它解决新的问题.在这样的过程中，学生对知识方法的理解逐步深入，运算技能得到锻炼，应用新知分析、解决问题的能力得到提高.

2.比中学----在与代入消元法的的比较中开始加减消元法的学习，在与简单方程组的比较中学习复杂方程组的解法，在比较方程组的特点中归纳加减法解方程组时的方法选择，总之，在比较中学习，既加深了对已有知识的理解，又利于对新知识的掌握.