实际问题与一元一次不等式 (第一课时)教学设计

§9.2 实际问题与一元一次不等式

教材分析：

本节教学内容为一元一次不等式的解法及其在现实生活中的简单应用. 本节课首先通过“方案选择问题”让学生感受实际生活中存在的不等关系，用不等式来表示这样的关系可为解决问题带来方便．由实际问题中的不等关系列出不等式，就把实际问题转化为数学问题，然后类比一元一次方程的解法得出一元一次不等式的解法，再通过解不等式得到实际问题的答案．通过本节课的学习，进一步让学生体会不等式是刻画现实世界的有效模型，培养学生的数学建模意识与转化思想.

【课时分配】2课时

§9.2实际问题与一元一次不等式 (第一课时)

【教学重点与难点】

教学重点：掌握解一元一次不等式的步骤，会用一元一次不等式解决简单的实际问题.

教学难点：寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型.

【教学目标】

1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；

2、对比一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，让学生感知不等式和方程的不同作用与内在联系，体会其中渗透的类比思想；

【教学方法】

通过创设与学生实际生活密切联系的问题情境，激发学生的学习动力，唤起他们的求知欲望，辅以类比、探索、概括的学习方法，经历从实际中抽象出数学模型的过程，感知方程与不等式的内在联系，从而获得解决问题的方法.

【教学过程】

一、创设情境 复习引入

（设计说明： 温故而知新，复习不等式的性质及简单不等式的解法，为探究一元一次不等式的解法及其应用的顺利进行作好准备.）

1、 不等式的基本性质有哪些?

2、解下列不等式，并在数轴上表示解集：

（1） (2) 7－3x≤10 （3）2x-3 〉 3x＋1

（教学说明：先让学生独立思考，然后请3名学生板演第2题，最后各组选派代表发言，点评板演情况．教师作总结讲评，比较它与解方程有什么异同，体会不等式和方程的内在联系与不同之处. 为探究一元一次不等式的解法作铺垫.）

二、师生互动，探索新知

（设计说明：通过体验买电脑、选商场购物，感受实际生活中存在的不等关系与相等关系，由实际问题中的不等关系或相等关系列出不等式或方程，就把实际问题转化为数学问题，再通过解不等式或方程得到实际问题的答案．在此过程中，类比一元一次方程的解法得出一元一次不等式的解法。）

问题1：某学校计划购实若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25％；乙商场的优惠条件是：每台优惠20％．如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择?

探究过程：

1、分组活动．先独立思考，理解题意．再组内交流，发表自己的观点．最后小组汇报，派代表论述理由．

2、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出以下三种采购方案：

(1)什么情况下，两个商场收费相同?

(2)什么情况下，到甲商场购买更优惠?

(3)什么情况下，到乙商场购买更优惠?

3、分别考虑三种方案：

方案（1） :设购买x台电脑，如果两个商场收费相同．如何列式表示这个关系?如何解?

学生容易得出如下答案：

解：设购买x台电脑，则到甲商场购买需付款[6000＋6000（1－25％）（x－1）]元，到乙商场购买需付款6000（1－20％）x元，由题意得：

6000＋6000（1－25％）（x－1）=6000（1－20％）x

去括号，得：6000＋4500x－4500=4800x

移项且合并，得：－300x=-1500

系数化为1，得：x=5

答：购买5台电脑时，两个商场收费相同．

方案（2）:如果到甲商场购买更优惠．

问题：如何列不等式?如何解列出的不等式?

在学生充分讨论的基础上，教师归纳并板书如下：

解：设购买x台电脑，如果到甲商场购买更优惠，则

6000＋6000（1－25％）（x－1）＜6000（1－20％）x

去括号，得：6000＋4500x－4500＜4800x

移项且合并，得：－300x＜-1500

不等式两边同除以－300，得：x〉5

答：购买5台以上电脑时，甲商场更优惠．

方案（3）:让学生独立完成.

4、让学生写出这一大题完整的解题过程.

5、议一议：依据列方程解应用题的过程，思考列一元一次不等式解应用题的一般步骤是什么?

总结得出步骤：审题，找不等关系(关键词)；

设未知数；

列不等式；

解不等式；

根据实际情况写出答案.

6、比较方案（1）与方案（2）的解方程与解不等式的过程，体会一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法的区别与联系，从而掌握一元一次不等式的解法.

问题2：甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施．甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠?

分析：由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额不同，因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑?

分组活动．先独立思考，再组内交流，然后各组汇报讨论结果．

最后教师总结分析：

1、如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的；

2、如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费小。

3、如果累计购物超过100元，又有三种情况：

(1)什么情况下，在两家商场购物花费相同?

(2)什么情况下，在甲商场购物花费小?

(3)什么情况下，在乙商场购物花费小?

上述问题，在讨论、交流的基础上，由学生自己解决，教师可适当点评。

参考答案：

解：设顾客累计购物x元，则

（1） 当x〈50时，显然选择甲、乙商场花费一样；

（2） 当50〈x〈100时，显然选择乙商场花费少；

（3） 当x〉100时，在甲商场花费[100＋0.9（x-100）]元，在乙商场花费[50＋0.95(x-50)]元，

① 如果在两家商场购物花费相同，则

100＋0.9（x-100）=50＋0.95(x-50)

解得 x=150

② 如果在甲商场购物花费小，则

100＋0.9（x-100）〈50＋0.95(x-50)

解得 x>150

③如果在乙商场购物花费小，则

100＋0.9（x-100）〉50＋0.95(x-50)

解得 x<150

综上所得，当x〈50或x=150时，在两家商场购物花费相同；

当50〈x〈150时，在乙商场购物花费小；

当x>150时，在甲商场购物花费小.

（教学说明：1、通过买电脑这个学生非常熟悉的生活实例，引起学生浓厚的学习兴趣，感受到数学来源于生活，生活中更需要数学；2、由“两个商场收费相同”和“到甲商场购买更优惠”得出一元一次方程和一元一次不等式，从而类比一元一次方程的解法得出一元一次不等式的解法，要特别强调运用不等式性质3时，注意不等号方向是否改变；3、问题2是“方案选择问题”中比较复杂的题型，通过这一问题的解决向学生渗透分类讨论思想；4、在师生共同分析的基础上，给学生出示完整的解题过程，这样有利于培养学生有条理地思考和规范的表达的习惯。）

三、巩固训练，熟练技能：

（设计说明：设计不同的练习，进一步提高学生的计算能力及分析解决问题的能力.）

1、解下列不等式：

①5x＋54＜x-1 ②2（1一3x）>3x＋20

③2（x-3）＜ 3（x＋2） ④ x＋5<3(x－5)－6

2、某单位要制作一批宣传资料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收设计费3 000元；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．

①什么情况下，选择甲公司比较合算?

②什么情况下，选择乙公司比较合算?

③什么情况下，两公司收费相同?

3、某移动通讯公司开设两种业务：“全球通”月租费30元，每分钟通话费0.2元；“神州行”没有月租费，每分钟通话费0.4元（两种通话均指市内通话）．如果一个月内通话x分钟，选择哪种通讯业务比较合算?

参考答案：1、① x〈- ② x<-2 ③ x>-8 ④ x>13

2、解：设该单位要制作x份宣传材料，则甲公司收费（20x＋3000）元，乙公司收费3x元，

①如果选择甲公司比较合算，则20x＋3000〈3x

解得 x〉3000

②如果选择乙公司比较合算，则20x＋3000〉3x

解得 x〈3000

③如果两公司收费相同，则 20x＋3000=3x

解得 x=3000

3、 解：如果一个月内通话x分钟，则“全球通”收费(30＋0.2x)元，“神州行”收费0.4x

元.

当选择“全球通”合算时，30＋0.2x〈0.4x,解得 x〉150

当选择“神州行”合算时, 30＋0.2x〉0.4x,解得 x〈150

当两家收费一样时, 30＋0.2x=0.4x,解得 x=150

答：当x〉150时，选择“全球通”；当x〈150时，选择“神州行”，当x=150时，选择哪一

家都一样.

四、总结反思，情意发展

（设计说明：让学生在积极愉快的气氛中回顾本节课学到的知识和技能，体会收获的喜悦.）

1. 如何利用一元一次不等式解决实际问题?

2. 如何解所得到的一元一次不等式?

3、在本节课的学习中，你还存在什么疑惑?

（教学说明：通过对以上三个问题的思考引导学生回顾整节课的学习历程，巩固所学知识，不断完善自己的认识，形成完整的知识结构.）

五、课堂小结

1．本节主要学习了一元一次不等式的解法和用不等式解决方案选择问题.

2．主要用到的思想方法是类比思想和分类讨论思想。

3．注意的问题:解不等式时，注意不等式性质3的使用.

六、布置课后作业：

1、课本134页练习1、(1)（2）、2题

2、课本135页6、7、8题

七、拓展练习

1、用不等式表示下列语句并求出解集：

（1）x的相反数与7的和小于x与5的差；

（2）a的3倍与1的差大于a与1的和的2倍；

（3）x与8的和的3倍不大于10

2、某商场画夹每个定价20元，水彩每盒定价5元．为了促销，商场制定了两种优惠办法：一是买一个画夹送一盒水彩；二是画夹和水彩均按九折付款．章老师要买画夹4个，水彩若干盒（不少于4盒）．问：哪种方法更优惠?

参考答案：1、（1）- x＋7〈x – 5， 解集为 x〉6

（2）3a-1〉2（a＋1）, 解集为 a〉3

（3）3（x＋8）≤10， 解集为x≤-

2、解：设章老师买x（x≥4）盒水彩，则方案一收费为[20×4＋5（x—4）]元，方案二收费为[20×0.9×4＋5×0.9x]元.

如果选择方案一优惠，则20×4＋5（x—4）〈20×0.9×4＋5×0.9x，解得 x〈24；

如果选择方案二优惠，则20×4＋5（x—4）〉20×0.9×4＋5×0.9x，解得 x〉24；

如果选择两种方案一样优惠，则20×4＋5（x—4）=20×0.9×4＋5×0.9x，解得 x=24；

答：当x〈24时，选择方案一优惠；当x〉24时，选择方案二优惠；当x=24时，选择两种方案一样优惠.

【评价与反思】

本课设计充分体现教科书的编写意图，通过创设与学生实际生活联系密切的问题情境，并由学生根据自己的经验列出一元一次不等式解决问题，从中发现一元一次不等式与一元一次方程之间的内在联系，从而学会解一元一次不等式．本课设计了一系列的学生活动．引发学生独立思考，讨论交流，尝试练习，自主建构一元一次不等式的解法．在这些活动中，给予学生充分的思维空间，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在对数学问题理解的同时，在思维能力、情感态度、价值观念等方面得到进一步发展，使自主探索、动手实践和合作交流成为学生学习的主要方式．