实际问题与二元一次方程组 (第二课时)教学设计

§8.3 实际问题与二元一次方程组 (第二课时)

【教学重点与难点】

教学重点：正确理解题目中关键语句的含义，找出等量关系，列二元一次方程组

教学难点：设辅助未知量，用式子正确表示题目中的等量关系

【教学目标】

1.使学生认识到，画图或列表等方式能帮助我们正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组.

2.学会从不同角度寻求解决问题的途径，设计方案，培养学生的数学建模能力.

3.在解决问题的过程中，提高运算技能，渗透应用意识，体会方程组是解决实际问题的有效工具.

【教学方法】

通过创设情境，将复杂的问题适当分解，用问题引导学生积极思考、努力探索.教学过程实际上就是系列问题探究、解决的过程，学生在教师指导下以问题解决为中心，通过自主探索、合作交流完成各项教学任务，在探索中获得新知，发展能力.

【教学过程】

一、创设情境 提出问题

（设计说明：由于探究2种的问题学生较陌生，并且难度较大，所以先设计一个较简单的题目作铺垫，一方面让学生熟悉常用的数量关系，另一方面熟悉列方程解应用题的一般步骤，同时分散探究2的难点.）

热身练习：甲、乙两种作物的单位面积产量的比是2:3，现有一块面积17公顷的土地，要在这块土地上种植这两种作物，且使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4，甲、乙两种作物的种植面积分别是多少?

解：设甲种作物的单位面积产量为2a，种植面积为x公顷，乙种作物的单位面积产量为3a，种植面积分别为y公顷，根据题意得

x＋y=17

2ax:3ay=3:4

解得 x=9

y=8

答：甲、乙两种作物的种植面积分别是9公顷，8公顷

（教学说明：教师提出问题，学生尝试解答，两名学生板演，结合板演订正，提醒学生注意准确理解关键词语“甲、乙两种作物的单位面积产量的比是2：3”“甲、乙两种作物的总产量的比是3：4”的含义．）

二、探索新知 解决问题

教材106页探究2

据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:1.5，现要在一块长200 m，宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4(结果取整数)?

问题1：动手画一画，可能有哪些划分方案?分割线的位置有哪些条件决定?

（设计说明：引导学生用画图的方式探寻解题思路，使学生先从总体上明确要做什么，然后考虑怎样做的问题.）

多角度分析问题，多策略解决问题，提高思维的发散性。学生通过动手操作、动脑思考、讨论交流，初步明确了以下问题

(1)有两种方法分割长方形

（2）分割线的位置要通过计算确定．

（教学说明：教师提出问题，让学生讨论交流，在此过程中可以逐步理解题意，找到解决问题的方法）

问题2 利用第一种分割方法，如何解这个应用题?

（设计说明：在学生完成热身练习的基础上，结合图形就能顺利列出方程，之所以要求学生写出规范的解答过程，是因为找到思路只是完成了第一步，能否彻底解决问题还需要计算、表达等多方面的能力，所以务必在这个环节上对学生严格要求.）

提示：将本题与准备题比较一下，有哪些方面可以借鉴?如何表示分割后两块地的面积?

分析：甲、乙两种作物的单位面积产量的分别为a,1.5a

若按如图所示的方案种植，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，则甲、乙两种作物的种植面积分别是100xm²,100ym² 甲、乙两种作物的产量分别是100ax,100y×1.5a,

根据题意，列方程组为 x＋y=200

100ax:100y×1.5a=3:4

解：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，根据题意得

x＋y=200

100ax:100y×1.5a=3:4

整理得 x＋y=200

8x=9y

解这个方程组得

于是可得如下分割方案：过长方形土地的长边上离一端约106 m处，把这块地分

为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．

（教学说明：学生在明确思路的基础上写出解答过程，请一名同学板演，教师对有困难的学生进行指导.学生做完之后先相互交流，教师结合板书简要点评，学生及时订正）

问题3 利用第二种分割方法，如何解这个应用题?

（设计说明：学生仿照第一种方法写出解答过程，一方面可以检验学习效果如何，另一方面可以让学生进一步体会方法的重要性，将举一反三落到实处）

解：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形EFCD和ABFE

设DE =xm, AE = ym, 根据题意得

x＋y=100

200ax:200y×1.5a=3:4

解得 x≈53

y≈47

于是可得第二种分割方案：过长方形土地的短边上离一端约53 m处，把这块地分

为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．

三、巩固训练 熟练技能

（设计说明：通过形式不同的练习，从不同的角度帮助学生进一步加深角的认识，形成初步技能。）

1. （2008年义乌市）已知、互余，比大.设、的度数分别为、，下列方程组中符合题意的是

A． B． C． D．

2. A． B． C． D．

（2008浙江省台州市）四川512大地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）

A． B．

C． D．

（教学说明：从不同角度设计练习，巩固学生所学）

四、反思总结 情意发展

（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）

问题1：本节课你学习了什么?

问题2：本节课你有哪些收获?

问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?

（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构）

五、课堂小结

1．本节主要学习用画图的方法分析数量关系，通过列二元一次方程组设计方案.

2．主要用到的思想方法是方程思想：将实际问题转化成二元一次方程组解决

3．注意的问题:

（１）认真审题，准确理解关键语句的含义.

（２）解出方程组时要选择适当的方法，提高运算速度、准确度..

（３）从多角度寻求解决问题的途径.

六、布置作业

1.必做题： 课本108页习题1（2），1，4，7

2.选做题：课本118页复习题 5，7

（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习题主要训练度、分、秒的换算问题）

七、拓展练习

（设计说明：在学习基础知识的基础上，拓展学生思维，提高学生的学习兴趣.）

1. 小颖在拼图时，发现8个一样大小的矩形（如图1所示），恰好可以拼成一个大的矩形．

小彬看见了，说：“我来试一试．”结果小彬七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2 mm的小正方形！

你能帮他们解开其中的奥秘吗?

提示：可以求出小矩形一组邻边长分别是10mm,6mm,图1中大矩形的面积是480mm2,图2中正方形的面积是484mm2,484-4=480

2. 在中国古代的《孙子算经》中记载了一道广为人知的题目：“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一。”问多少大马，多少小马?

答案：大马25匹，小马75匹

3. “5·12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷。某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区。若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶.

（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶?

（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务?如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感?

(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x、y顶，则

解得x=41，y=32．

答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．

(2)由3（4×41＋5×32）=972＜1000知，即使工厂满负荷全面转产，还不能如期完成任务．

可以从加班生产、改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其它厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．

4. （2008 山东烟台）据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在0.2%～0.5%之间时，衣服的洗涤效果较好，因为这时表面活性较大.

现将4.94kg的衣服放入最大容量为15kg的洗衣机中，欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到0.4%，那么洗衣机中需要加入多少千克水，多少匙洗衣粉?（1匙洗衣粉约0.02kg，假设洗衣机以最大容量洗涤）

（教学说明：教学时可根据实际做调整，要让学生充分的合作交流，共同解决问题）

【评价与反思】

热身练习作准备，数形结合探方案：由于中涉及的数量关系较多，为减小探究2的难度，先设计一个题目，将探究2中的部分环节独立出来，先解决设辅助未知量分析数量关系的问题，这样学生在解决探究2时就可以把注意力主要集中在方案设计上.在设计方案时，利用图形分析，将难以表达的内容图形化、符号化，解决策略就能逐步得出.同时，发散思维训练利用图形更容易进行.