三角形的外角 教学设计
§7.2.2三角形的外角
【教学重点与难点】
教学重点：1．了解三角形外角的概念及性质．
2．能利用三角形外角的性质解决简单问题．
教学难点：1．能够证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”．
2．了解“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”的应用范围，并能解决简单问题．
【教学目标】
1．了解三角形外角的概念．毛
2．探索并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．运用三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角解决简单问题．
【教学方法】
在学生自主探索的基础上加以引导，培养学生的逻辑思维及发现问题和解决问题的能力．
【教学过程】
一、回顾旧知 提出问题
（设计说明：利用问题回顾三角形内角和定理，并利用旧知识，发现新知识．）
问题1：如图，已知BD // CE，∠A=45°，∠C=65°，求∠1和∠2的度数．
学生回答：由BD // CE可知，∠1=∠C=65°，由三角形内角和等于180°可得，∠2的邻补角等于70°，所以∠2=110°．
问题2：在问题1中，∠2被称为三角形的外角，根据∠2的构成，你能说明什么叫三角形的外角吗?
学生讨论回答，教师归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（教学说明：在回顾旧知的问题1中，教师不仅要让学生得到正确的结论，还要说明每个结论的理论根据，最好能让学生写出证明过程．而问题2中，要强调“一边”与“另一边的延长线”所组成的角，为找三角形外角个数打基础．）
二、探索新知 解决问题
1．根据定义探索三角形外角的个数
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问题1：根据定义，画出三角形的外角．你能画出多少个?
学生回答：如图，可以画出6个外角．
问题2：这6个角有什么关系?（位置关系和数量关系）
学生回答：∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角，∠5和∠6是对顶角，所以有∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．
教师说明：由于三角形这6个外角是三对对顶角，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，所以当我们说三角形的外角时，一般是从这三对对顶角的每一对中取出一个，组成三个角．因此，我们说三角形有三个外角．
（教学说明：在教科书中并没有这个环节，但在教学时，这个环节是必不可少的，因为这是为探索外角的性质及外角和打基础．所以，在问题2中，首先要强调的是图形之间的关系．图形与图形之间的关系有两种，一种是位置关系，一种是数量关系．所以，当问题中只问到两个图形之间有什么关系时，学生要从两方面回答．而对于三角形的外角，教师要说明，虽然三角形一共有6个外角，但我们只取其中的三个，而这三个外角必须分别从三对对顶角中取，且每对只取一个，不能重复．）
2．手脑并用探索三角形外角的性质及外角和
（设计说明：学生通过计算、讨论、证明的方式探索三角形外角的性质及外角和，培养学生合作交流及逻辑思维能力．）
问题1：如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠ACB=40°，求∠BAC的度数及三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数．
学生回答：∠BAC=75°，∠1=105°，∠2=115°，∠3=140°．
问题2：观察你的结论，你能发现三角形的三个内角及它的外角有什么关系吗?三个外角又有什么关系?
学生讨论回答，教师总结：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；③三角形的外角和等于360°．
问题3：试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
学生回答：
已知：在△ABC中，∠1是三角形的一个外角．
求证：∠1=∠A＋∠B．
证明：∵∠ACB＋∠A＋∠B=180°，（三角形的内角和等于180°）
∴∠ACB=180°-∠A-∠B．
∵∠1与∠ACB是邻补角，
∴∠1＋∠ACB=180°．
∴∠1=180°-∠ACB=180°-（180°-∠A-∠B）=∠A＋∠B．
问题4：试证明三角形的外角和等于360°．
学生回答：
已知：在△ABC中，∠1，∠2，∠3都是三角形的外角．
求证：∠1＋∠2＋∠3=360°．
证明：∵∠1，∠2，∠3都是三角形的外角，
∴∠1=∠ABC＋ ACB．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
同理，∠2=∠BAC＋ ACB，∠3=∠BAC＋∠ABC ．
∴∠1＋∠2＋∠3=∠ABC＋ ACB＋∠BAC＋ ACB ＋∠BAC＋∠ABC
=2（∠BAC＋∠ABC＋∠ACB）．
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°，（三角形的内角和等于180°）
∴∠1＋∠2＋∠3=2×180°=360°．
（教学说明：在学生的自主探究过程中，教师要关注学生之间的交流合作，并适时加以引导，同时对学生所得出的正确结论要给肯定．同时还要强调定理证明的基本步骤，并要求学生独立完成证明过程．）
三、巩固训练 熟练技能
（设计说明：通过基础练习，加深对三角形外角的认识，熟练基本技能．）
练习1：说出下列图中∠1和∠2的度数．
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练习2：如图，
是 外角， ＋ ，
是 外角，= ＋ ，
是 外角，= ＋ ，> ，> ．
学生： △ACD，∠A，∠ACD，△BCF，∠BCF，∠FBC，△BDF（△CEF），∠BDF（∠CEF），∠DBF（∠ECF），∠BDF（∠CEF…），∠A．
练习3：如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CD交BA的延长线于点E，证明∠ABC﹥∠B．
学生：
证明：∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠DCE．（角平分线定义）
∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠DCE﹥∠B．
（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）
∴∠ACE﹥∠B ．（等量代换）
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠BAC﹥∠ACE．（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）
∴∠ABC﹥∠B．
练习4：如图，点D是△ABC内的一点，连接BD和CD，证明∠BDC﹥∠A．
学生：
证明：延长BD交AC于E．
∵∠BEC是△ABE的外角，∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BEC﹥∠A，∠BDC﹥∠BEC．
（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）
∴∠BDC﹥∠A．
（教学说明：练习的设计有一定的阶梯性，尽量让学生独立完成．对于练习3和练习4，如果学生没有思路，教师要给予是所学知识的一个应用，要让学生有利用面积求高的意识，开阔思路．）
四、反思总结 情意发展
（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）
问题1：本节课你学习了什么?
问题2：本节课你有哪些收获?
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?
（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构）
五、课堂小结
1．本节主要学习三角形的外角的概念及性．
2．注意的问题：
（1）三角形的外角是由三角形一边的延长线与另一边所组成的角．
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
（4）三角形的外角和等于360°．
六、布置作业
1、课本76页习题7.2的5、6；
（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习题是对本节的基础知识进行巩固．）
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（设计说明：对已学的知识进行综合应用，培养学生的应变能力．）
练习1：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点p．
试证明
．
学生：
证明：∵Bp，Cp分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴
，
．（角平分线定义）
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，∠p＋∠pBC＋∠pCB=180°，
（三角形的内角和等于180°）
∴∠ABC＋∠ACB=180°-∠A，∠p =180°-（∠pBC＋∠pCB）．
∴．
（等量代换）
练习2：如图，在上题中，如果Cp是△ABC外角∠pCD的角平分线，那么∠p与∠A有什么关系?试证明你的结论．
学生：答：
．
理由：∵Bp，Cp分别是∠ABC与∠ACD的平分线，
∴，
．（角平分线定义）
∵∠pCD是△pBC的外角，∠ACD是△ABC的外角
∴∠pCD=∠p＋∠pBC，∠ACD=∠A＋∠ABC，
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠p=∠pCD -∠pBC，∠ABC =∠ACD-∠A．
∴
．（等量代换）
练习3：如图，在上题中，如果Bp，Cp分别是∠CBD与∠BCE的平分线，那么∠p与∠A有什么关系?试证明你的结论．
学生：答：
．
理由：∵Bp，Cp分别是∠CBD与∠BCE的平分线，
∴
，
．（角平分线定义）
∵∠CBD与∠BCE都是△ABC的外角，
∴∠CBD=∠A＋∠ACB，∠BCE=∠A＋∠ACB，
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，
∠p＋∠pBC＋∠pCB=180°，（三角形的内角和等于180°）
∴∠p =180°-（∠pBC＋∠pCB），∠ABC＋∠ACB=180°-∠A，
∴
．（等量代换）
（教学说明：这三个练习其实是将一道题分成三部分，以降低题的难度，主要是考查学生对三角形外角的性质的应用，具有一定的难度，所以教师应给学生充足的思考时间，并让学生以所学的基础知识为出发点进行充分的合作交流，共同解决问题．）
【评价与反思】
本节主要介绍三角形的外角及其性质，是一节探究课．
本节的知识内容很突出，就是要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，教师可以放手让学生探索，利用多种方法进行研究．同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力．
在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要，在获得数学活动经验的同时，提高学生探究、发现和创新的能力．
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