平面直角坐标系复习
§第六章 平面直角坐标系复习
【教学重点与难点】
教学重点：全章知识的归纳整理及应用．
教学难点：所学知识的应用．
【教学目标】
1.进一步认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标.
2、能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，进一步体会平面直角坐标系在解决问题中的作用.
3、在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换.进一步让学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受数学问题与几何问题的相互转化，发展学生的形象思维能力和数形结合意.
【教学方法】
设计典型例题，检测学生知识，科学地进行小结与归纳.
【教学过程】
一、熟悉知识体系
（设计说明：通过引领学生回忆本章的知识要点，形成知识框架，让学生对本章知识有一个整体的把握，同时了解各知识之间的内在联系。）
二、知识要点回顾
(一)基础知识
（设计说明：以问题为载体引导学生回忆全章的有关知识，使学生掌握的知识更加深刻、系统.）
1．有序数对：有序数对是指______的两个数组成的数对，它的表示形式是（a,b）.
注意：（1）a与b要用逗号分开，以示它们是两个独立有序的数，又要用括号“包装”起来，表示它们是一个整体；（2）若a≠b则(a,b)与(b,a)表示两个不同的有序数对；（3）在直角坐标系中，有序数对（a,b）表示点的坐标，a,b依次表示横坐标、纵坐标.
2．平面直角坐标系的意义：在平面内，两条具有公共原点、并且______的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做______或_______，向______方向为正方向，竖直的数轴叫做______或_______，向______方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的______，平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个象限，这两条数轴的正方向的所夹的象限叫做第______象限，其它三个象限按逆时针方向依次叫做第______、______、______象限，坐标轴不属于任何象限；
注意：（1）组成平面直角坐标系的四个要素：①在同一平面内；②两条数轴；③互相垂直；④有公共原点.（2）两个规定：①正方向的规定：横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向；②两条数轴单位长度规定：一般情况下，横轴与纵轴单位长度相同，为了实际需要有时横轴与纵轴单位长度可以不同.
3．各象限内点的坐标符号特点：在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（＋，＋），那么第二象限的坐标特征是______，第三象限是______，第四象限是______；
4．特殊点的坐标
（1）坐标轴上点的坐标特点: 横轴（x轴）上点的坐标特征是（x，0），即纵坐标都是0；纵轴（y轴）上的点的坐标特征是______，即______；
(2)平行于坐标轴直线上的点的坐标：平行于x轴的直线上的各点的________相同,_______不同；平行于y轴的直线上的各点的_________相同,__________不同.
（3）对称点的坐标：点p(a,b)关于x轴对称的点为_________,点p(a,b)关于y轴对称的点为__________.
5.点到两轴的距离的意义: 点p（x,y）到x轴的距离为_______,到y轴的距离为______.
6. 用坐标表示地理位置的一般过程：①选原点，②规定x，y轴的正方向，
③确定单位长度,④在坐标系中描点，并写出各点的坐标和各地点的名称。
7.点的坐标与图形平移的关系：一个图形在平面直角坐标系中进行平移,其坐标就要发生相应的变化, 可以简单地理解为: 左、右平移纵坐标不变,横坐标变,变化规律是左减右加,上下平移横坐标不变,纵坐标变,变化规律是上加下减。例如: 当p(x ,y)向右平移a个单位长度,再向上平移b个单位长度后坐标为p′(x＋a ,y＋b).
（教学说明：在教学过程中，借助前面的知识框架，以提问的方式引导学生回顾以上知识点，有些知识点要借助图形帮助学生回忆，如特殊点的坐标，点到两轴的距离的意义等.由于学生有的知识遗忘了，有的知识不能很好的用数学语言表达，教师应有充分的耐心听学生说完，并注意及时规范学生的不准确的表述。通过以上复习，使学生把全章知识串起来，使全章知识系统化、条理化、全面化.）
（二）、基本应用（例题精讲）
（设计说明：巩固学生对所学知识的进一步理解和应用，提高学生应用数学知识解决问题的能力.）
例1 写出如图1中A，B，C，D各点的坐标．
分析：平面直角坐标系中点的的坐标是由横坐标和纵坐标组成的一个有序数对，横坐标要写在前面。横坐标的确定方法是过点作横轴的垂线，垂足在横轴上所对应的数就是该点的横坐标；再过点作纵轴的垂线，垂足在纵轴上所对应的数就是该点的纵坐标。
因为A在横轴上对应的数是2，在纵轴上对应的数3，所以点A的坐标是（2，3），其它三点的坐标类似可以确定，分别是B（3，2），C（-2，1），D（-1，-2）。
例2 一群小孩子在操场上手拉手地围成一圈，组成了一个优美的图案．小明站在旁边发现他们当中八个人恰好站在拐角处的A、B……、H点，而且建立某个坐标系后可测得这八个点的坐标分别是A（0，4），B（-1，1），C（-4，0），D（-1，-1），E（0，-4），F（1，-1），G（4，0），H（1，1）．你知道这群孩子围成的图案是什么吗?请把它画出来．
分析：要知道由A、B……、H点围成的图案，只须在坐标系中描出这些点的位置，然后用折线把它们连结出来就可以知道其图形是如图2的图案。
例3 指出下列各点所在的象限或坐标轴：
A（-2，3），B（1，-2），C（-1，-2），D（3，2），E（-3，0），F（0，1）．
分析：在第一、二、三、四象限内，点的坐标符号分别是（＋，＋）、（-，＋）、（-，-）、（＋，-）；在x轴正半轴上、负半轴，在y轴正半轴、负半轴上的点的坐标符号分别是（＋，0）、（-，0）、（0，＋）、（0，-），反之也成立．
因为点A的符号是（-，＋），故点A在第二象限；因为点Ｂ的符号是（＋，-），故点B在第四象限；因为点C的符号是（-，-），故点C在第三象限；因为点D的符号是（＋，＋），故点D在第一象限；因为点E的纵坐标为0，所以点E在x轴上；因为点F的横坐标为0，所以点F在纵轴上．
例4 在平面直角坐标系中，到x轴的距离等于2，到y轴的距离等于3的点的坐标是________________________；
分析：到x轴的距离等于2的点的纵坐标有＋2和-2，到y轴的距离等于3的点的横坐标有＋3和-3，因此，满足条件的点的坐标有（3，2）、（3，-2）、（-3，2）、（-3，-2）。
例5 平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标是A（6，8），B（-2，0），C（-5，-3），△DEF各顶点的坐标是D（0，3），E（8，11），F（-3，0），请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系，判断△DEF是不是由△ABC平移得到的?如果是，是怎么样平移的?如果不是，请说明为什么?
分析：分别观察△ABC各顶点坐标与△DEF各顶点坐标，寻找相同的变化关系。对于点A和D、B和E、C和F来说，把点A向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，可以得到点D，但把点B、C进行同样的平移不能得到点E、F。此时注意不要仅凭这一点就否定两个三角形不能相互平移而得到。考虑点A和点E的关系，可以发现，把△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，对应三个顶点的坐标分别是（8，11），（0，3），（-3，0），恰好是△DEF三个顶点的坐标，因此，把△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，可得把△DEF。
例6 如图3所示的象棋盘上，若“帅”位于点（1，-2）上，“相”位于点（3，-2）上，则“炮”位于点（ ）
A．（-1，1）；B．（-1，2）；
C．（-2，1）；D．（-2，2）．
分析：要确定“炮”的位置，关键在于建立合适的直角坐标系，而所谓合适的坐标系就是指坐标原点、坐标轴的选择与建立要满足“帅” 和“相”所处位置的坐标，比如说原点显然不可能是“帅”的位置．从“帅”的坐标（1，-2）可知“帅”在第四象限，距离横轴2个单位，距离纵轴1个单位，这样，我们便可以建立起如图的坐标系，再根据如图的坐标系及“相”的坐标可知图中单位长度是每个小正方形的边长为一个单位长，因此可以顺利地确定出“炮”的位置是（-2，1），故选C
（教学说明：例1、2是已知点写坐标，已知坐标描点的基本应用；例3、4考察了各象限内点的坐标符号特点和点到两轴的距离的意义，其中例4有一定的难度，涉及到分类的思想，需要考虑周到. 例5考察了点的坐标与图形平移的关系，但它需要逆向思维，因此也有一定的难度.例6是用坐标表示地理位置的基本应用，比较简单.对以上问题的处理可以先让学生独立思考，再小组交流，最后师生共同解决.）
三、巩固训练，熟练技能：
（设计说明：通过不同的基础练习，帮助学生进一步理解本章所学知识.）
一、选择题
1．下列各点中，在第一象限的点是( )
A．(2，3) B．(2，-1) C．(-2，6) D．(-1，-5)
2.若点p的坐标是（x，y），且xy＞0，x＋y＜0，则点p在第（ ）象限
A.一 B.二 C.三 D.四
3．点A(1，2)先向右平移2个单位，然后再向下平移1个单位得到对应点A’，则点A’的坐标是( )
A.(3．3) B.(-1．3) C．(-l，1) D.(3，1)
4.如图4所示，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(1，1)，(3，3)，(-4，1)，则顶点C的坐标是（ ）
A.（-2，3） B.（-2，2） C.（-2，1） D.（-3，2）
图4
二、填空题
5．p（3，-4）到x轴的距离是 .到y轴的距离是 .
6.已知点p（a，－2）与点Q(-3，b)关于x轴对称，则a= ，b= .
7. 点A（x，y）在第四象限，若
，
，则点A的坐标是 .
8．将点A (2，0）绕原点O按顺时针方向旋转900到点B，则点B的坐标是 .
9.已知AB∥x轴，且AB=3，若点A的坐标是（-1，2），则B点的坐标是 .
三、解答题
10、 如图5：三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A (1，2)、B（4，3）、C（3，1）.
图5
（1）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标;
（2）求出三角形 A1B1C1的面积。
参考答案
1. A． 2. C. 3. D 4. A 5. 4,3 6. -3，2. 7. (3，-2). 8.(0,2)
9.(-4，2)或（2，2）.
10. (1) A1 (-3,5) B1 (0,6) C1(-1,4)
(2) 分析:可把它补成一个梯形减去两个三角形或补成一个矩形减去三个三角形.
（教学说明：这一环节是为了评价本节课的教学效果，检验教学目标的达成情况，教师可根据学生反馈的具体情况作适当的评价与弥补，从而达到巩固提高的目的.）
四、总结反思，情意发展
（设计说明：围绕四个问题，师生共同总结本节课的学习收获。）
1、 哪些本已遗忘的知识得到巩固?
2、哪些知识有新的认识?
3、本章主要蕴涵了哪种数学思想?
4、结合你自己的复习情况，谈谈你还有什么疑问?
（教学说明：通过回顾和反思，让学生看到自己的进步，激励学生，使学生相信自己在今后的学习中不断进步，同时促进学生形成良好的反思习惯.）
五、课堂小结
1．本节重点复习归纳了本章的基础知识，提高了学生各知识点的综合应用能力.
2．主要用到的思想方法是数形结合思想和分类思想。
3．注意的问题:借助图形理解题意，这样直观形象，便于解决问题
六、布置课后作业：
课本59页复习题6的5、7、8、10题
（教学说明：进一步巩固本章的基本知识，其中可以通过第7题向学生渗透坐标象限夹角的角平分线上的点的坐标特点. 即：在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数.）
七、拓展练习
1.点Ｐ到x轴、y轴的距离分别是2、1，则点Ｐ的坐标可能为___________________.
2.已知A(1,4),B(-4,0),C(2,0). △ABC的面积是＿＿＿＿＿；将△ABC向左平移三个单位后,点A、B、C的坐标分别变为______,______,＿＿＿＿；将△ABC向下平移三个单位后,点A、B、C的坐标分别变为______,______,＿＿＿＿；若BC的坐标不变, △ABC的面积为6,点A的横坐标为-1,那么点A的坐标为________________.
3.如图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按这些变换规律将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是_______，B4的坐标是_________．
（2）若按第（1）题的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测An的坐标是_______，Bn的坐标是_______．
4. 平面直角坐标系内，点A（n，1-n）一定不在（ ）
A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限．
参考答案：
1、(1,2)、(1,-2)、(-1,2)、(-1,-2)
2、12；（-2，4），（-7，0），（-1，0）；（1，1），（-4，-3），（2，-3）；
(-1,2)或(-1,-2)
3、（1）（16，3）；（32，0）
点拨：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），其纵坐标都为3，
而横坐标依次为20，21，22，23．因此，A4（24，3），即A4（16，3）．
同理，B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0），它们的纵坐标都是0，
而横坐标依次是21，22，23，24，因此得出B4（24＋1，0），即B4（32，0）．
（2）（2n，3）；（2n＋1，0）
4、分析：利用排除法，对点A可能所在的象限进行一一排除．
若点Ａ在第一象限，则n＞0，1-n＞0，解得0＜n＜1，并无任何矛盾，故点A可能在第一象限；
若点A在第二象限，则n＜0，1-n＞0，解得n＜0，也没有矛盾；
若点A在第三象限，则n＜0，1-n＜0即n＞1，互相矛盾，故点A不可能在第三象限，选C．
同样地，如果点A在第四象限也可以发现并无矛盾。但作为选择题，为节省解题时间，没必要再去探索。
（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，课本习题的训练形式较少，因此作适当的补充，多角度、多形式的对学生所学知识进行巩固，并在此过程中，拓宽学生的视野，培养学生灵活应用知识分析问题解决问题的能力。）
【评价与反思】
本节复习是以“问题串”的形式，通过教师提问，学生独立思考，相互交流，回答问题的方式对本章知识进行了小结，回顾了平面直角坐标系及相关的基础知识和基本方法，以及它的简单应用. 对于学生易出错、应该强调的问题，如果只是泛泛而谈，效果不大因此，在复习了本章的主要知识后，出了一组典型例题，通过具体的题目，强调有关的问题，将给学生留下更深的印象，学习效果会更好.
在教学中，关注学生是否认真思考，相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况，使学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系.
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