平方差公式

教学设计示例

教学目标

1．使学生理解和掌握平方差公式，并会用公式进行计算；

2．注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力．

教学重点和难点

重点：平方差公式的应用．

难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．

教学过程设计

一、师生共同研究平方差公式

我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项?合并同类项以后，积可能会是三项吗?积可能是二项吗?请举出例子．

让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：

两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式?为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢?而它们的积又有什么特征?

(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差)

继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算．以后经常遇到(a＋b)(a-b)这种乘法，所以把(a＋b)(a-b)=a²-b²作为公式，叫做乘法的平方差公式．

在此基础上，让学生用语言叙述公式．

二、运用举例 变式练习

例1 计算(1＋2x)(1-2x)．

解：(1＋2x)(1-2x)

=1²-(2x)²

=1-4x²．

教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．

例2 计算(b²＋2a³)(2a³-b²)．

解：(b²＋2a³)(2a³-b²)

＝(2a³＋b²)(2a³-b²)

＝(2a³)²-(b²)²

＝4a⁶-b⁴．

教师引导学生发现，只需将(b²＋2a³)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算．

课堂练习

运用平方差公式计算：

(l)(x＋a)(x-a)； (2)(m＋n)(m-n)；

(3)(a＋3b)(a-3b)； 　(4)(1-5y)(l＋5y)．

例3 计算(-4a-1)(-4a＋1)．

让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．

解法1：(-4a-1)(-4a＋1)

=[-(4a＋l)][-(4a-l)]

=(4a＋1)(4a-l)

=(4a)²-l²

=16a²-1．

解法2：(-4a-l)(-4a＋l)

=(-4a)²-l

=16a²-1．

根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)²-l²后得出结果．采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案．

课堂练习

1．口答下列各题：

(l)(-a＋b)(a＋b)； (2)(a-b)(b＋a)；

(3)(-a-b)(-a＋b)； (4)(a-b)(-a-b)．

2．计算下列各题：

(1)(4x-5y)(4x＋5y)； (2)(-2x²＋5)(-2x²-5)；

教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．

三、小结

1．什么是平方差公式?

2．运用公式要注意什么?

(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；

(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．

四、作业

1．运用平方差公式计算：

(l)(x＋2y)(x-2y)； (2)(2a-3b)(3b＋2a)；

(3)(-1＋3x)(-1-3x)； 　(4)(-2b-5)(2b-5)；

(5)(2x³＋15)(2x3-15)； (6)(0.3x-0.l)(0.3x＋l)；

2．计算：

(1)(x＋y)(x-y)＋(2x＋y)(2x＋y)；　(2)(2a-b)(2a＋b)-(2b-3a)(3a＋2b)；

(3)x(x-3)-(x＋7)(x-7)； (4)(2x-5)(x-2)＋(3x-4)(3x＋4)．