课题学习 镶嵌 教学设计
§7.4 课题学习 镶嵌
教材分析
第七章《三角形》首先介绍了三角形的有关概念和性质，接着介绍了多边形的有关概念及其内角和、外角和公式．镶嵌作为课题学习的内容，安排在本章的最后，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用．通过课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，到综合运用已有的知识解决问题的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力．
教材由铺地板砖铺地引入镶嵌问题后提问：为什么这样的地砖可以进行平面镶嵌?引发学生的思索，接着又提出：哪几种多边形可以平面镶嵌?为了深化课题研究，教材进一步提出：哪两种正多边形可以平面镶嵌?设问层层递进，不断引发学生的认知冲突，从而引领学生完成课题学习．因此，本节的重点是经历平面镶嵌条件的探究过程，难点是用两种正多边形进行的平面镶嵌．
为了突出重点，突破难点，本课题的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，关注学生的实践与操作，让学生自己准备正多边形，自己拼图，自主发现数学问题，进而解决问题，教师要适时启发学生把平面镶嵌的条件与内角和公式联系起来，进而建立解题模型．
【课时分配】1课时
【教学重点与难点】
教学重点：经历平面镶嵌条件的探究过程．
教学难点：能用两种正多边形进行的平面镶嵌．
【教学目标】
1．了解平面镶嵌的条件，会用一个三角形、四边形、正六边形平面镶嵌，形成美丽的图案，积累一定的审美体验．
2.．经历探索多边形平面镶嵌的条件过程，并能运用几种图形进行简单的镶嵌设计．
【教学方法】
从观察生活现象入手抽象出数学问题，并通过自主探索多边形平面图形的镶嵌并且欣赏美丽图案，从而感受数学与现实生活的密切联系，体会数学活动充满了探索性与创造性，培养学生学习数学的兴趣，促进创新意识、审美意识的发展．
【教学过程】
一、创设情境 提出问题
（设计说明：创设情境，导入新课，了解多边形平面覆盖来自生活实际，发现有的多边形能够覆盖平面，有的则不能．）
问题：观察下图，你发现了什么?
|
学生回答：都是平面图形，都是由多边形组成，图形与图形之间没有缝隙，不重叠等．
（教学说明：这个问题的回答面很广泛，可以让学生展开思路去想，只要回答正确，教师就要给予肯定，让学生感觉到发现问题并不难，从而激发学生探索的兴趣．）
二、探索新知 解决问题
1．动手操作，发现镶嵌的条件
（设计说明：从学生的回答入手，引入新的概念，培养学生的语言表达能力．）
问题1：上面的图形被称之为镶嵌．根据你所找到的共同点，用自己的语言说明，什么叫镶嵌?
学生讨论回答，教师归纳：用一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
问题2：尝试利用正三角形、正四边形、正五边形、正六边形进行单一图形的平面镶嵌，你发现了什么?
学生操作并交流，回答：正三角形、正四边形和正六边形可以进行镶嵌，但正五边形不能．
问题3：尝试利用正三角形、正四边形、正五边形、正六边形中的两种图形进行平面镶嵌，你发现了什么?
学生操作交流并回答：并不是任意两种正多边形都可以进行平面镶嵌，在这四个正多边形中，正三角形与正四边形可以进行平面镶嵌，正三角形与正六边形可以进行平面镶嵌，正四边形和正六边形也可以进行平面镶嵌．
问题4：任意的一个三角形或任意的一个四边形可以进行平面镶嵌吗?
学生操作交流并回答：任意的三角形或任意的四边形都可以进行平面镶嵌．
问题5：观察上述的实验结果，讨论平面镶嵌的条件．
学生讨论回答，教师归纳：
多边形平面镶嵌的条件：
①拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；
②相邻的多边形有公共边．
问题6：根据归纳的结论，解释一下为什么任意的三角形能够进行平面镶嵌，而正五边形不能镶嵌成一个平面图案?
学生回答：如图，∠1＋∠2＋∠3=180°，把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点,一定能使这点为顶点的6个角的和恰好等360°，并且使边长相等的两边贴在一起．于是，用三角形能镶嵌成一个平面图案．而由多边形内角和公式可以得到，五边形内角和等于540°，所以正五边形的每个内角都等于108°．因为360°不是108°的整数倍，也就是说，用一些108°的角不能拼出360°的角，所以正五边形不能进行平面镶嵌．
（教学说明：本环节设计的问题引导学生由浅入深地探讨问题．而对于问题1，书中并没有给出镶嵌的具体定义，所以只要让学生能够明白满足什么要求就是镶嵌即可，不要让学生死记硬背，能用自己的评议说明就行了．而问题2到问题5都是开放性的问题，所以教师要留给学生充足的时间进行探究和讨论，并对学生所回答的正确结论要给予肯定，激发学生学习的信心．对于问题6，只要学生能够利用所学知识将问题说清楚即可．）
三、巩固训练 熟练技能
（设计说明：通过基础练习，巩固基础知识，形成基本的知识体系．）
练习1. 某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．正八边形 D．正六边形
学生：选择C．
练习2．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就拼成一个平面图形．
学生：周角（或360°角）．
练习3．用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有 三种．
学生：正三角形、正方形、正六边形．
|
|
学生：选择C．
练习5．试着用两种不同的正多边形设计一个密铺的方案，并将你的方案画出来．
学生：正三角形和正方形，正三角形和正六边形等．如图，
|
（教学说明：练习要让学生独立完成，对于练习5，应让学生进行讨论，在讨论的基础上尽可能多地找出两种不同的正多边形进行平面镶嵌．）
四、反思总结 情意发展
（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）
问题1：本节课你学习了什么?
问题2：本节课你有哪些收获?
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?
（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构）
五、课堂小结
1．本节主要学习镶嵌的概念及条件．
2．注意的问题：
（１）平面镶嵌是用一种或几种平面图形进行拼接，要求图形与图形之间不留空隙、不重叠地铺成一片．
（２）平面镶嵌的条件是：①拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；②相邻的多边形有公共边．
六、布置作业
1．请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．
（教学说明：开放性作业可以扩展学生的想象力和动手操作的能力，应鼓励学生独立完成．）
七、拓展练习
（设计说明：在学习基础知识的基础上，拓展学生思维，提高学生的学习兴趣。）
练习1：右图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成，小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少（ ）块．
A．8块 B．9块 C．11块 D．12块
学生：选择B．
练习2：如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为 块；当白色瓷砖为
（n为正整数）块时，黑色瓷砖为 块．
|
…学生：16，4(n＋1).
（教学说明：这两个练习都有一定难度，练习1要让学生亲自动手操作试验即可得出正确结论；练习2要让学生讨论并观察规律，教师要加以引导．）
【评价与反思】
本节是一节课题学习课，主要介绍平面镶嵌的概念及条件，是一节实践课．
本节是在学习了三角形的有关概念和性质，多边形的有关概念及其内角和、外角和公式后，作为课题学习的内容，安排在本章的最后，是多边形的一种实际应用．本节课的教学采取实验操作、观察发现、启发引导、探索交流等多种方法相结合的教法，特别关注了从实践到理论,再从理论到实践的全过程，教师对学生的实践进行指导，帮助学生优化思维过程，在此基础上，学生互相交流思维策略，设计创意，既满足了学生学习的多样化的要求，又扩展了学生的数学知识和使用数学语言的能力．
在教学设计上，强调了学生的自主学习与交流合作相融合，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探索的过程中理解数学知识在生活中的应用，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力．
中考 高考名著
常用成语