二次函数y=ax2 bx c的图像1 人教课标九年级下册

教学目标：

使学生进一步理解二次函数的基本性质；

渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题，及逻辑思维的能力.

使学生参与教学过程，通过主体的积极思维，体验感悟数学.逐步建立数学的观念，培养学生独立地获取知识的能力.

教学重点：初步理解数形结合的数学思想

教学难点：初步理解数形结合的数学思想

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程：

例1、已知：抛物线y = x²－（m²－1）x－2m²－2

⑴求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴一定有两个交点

⑵m取什么实数时，两交点间距离最短?是多少?

解：

= (m²－1)²＋4(2m²＋2)

= m⁴－2m²＋1＋8m²＋8

= m⁴＋6m²＋9

= (m²＋3)²

m²≥0

∴m²＋3＞0

∴△＞0

∴抛物线与x轴有两个交点

问题：为什么说当△＞0时，抛物线y = ax²＋bx＋c与x轴有两个交点.（能否从数和形两方面说明）

设计意图：在课堂上创设让学生说数学的机会，学会合作学习，以达到①经验共享，在思维的碰撞中共同提高.②学会合作，消除个人中心.③发现自我，提高参与度.④弘扬个体的主体性，形成健康，丰富的个性.

数：点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程.反之，曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点，既在抛物线上，又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式，也满足x轴的解析式.设交点坐标为（x，y）

∴

这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y = 0，消去y，转化成ax²＋bx＋c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识，当△＞0时， ax²＋bx＋c=0有两个不相等的实根.∴y = ax²＋bx＋c

y = 0

有两个不等的实数解

∴抛物线与ｘ轴交于两个不同的点.

形：顶点在ｘ轴上方，且开口向下.或者顶点在ｘ轴下方，且开口向上.

设计意图：渗透解析几何的基本思想

使学生掌握转化思想使学生在解题过程中，感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合，分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.

转化成代数语言为：

小结：第一种方法，根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题，转化成求方程组的解的问题.

第二种方法，借助于图象思考问题，比较直观.发现规律后，再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法，也是探索解数学问题的一般方法.

思考：试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别式的符号的关系.

设计意图：数学学习是一个再创造的过程，不能等同于数学知识的汇集，而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体，揭示出蕴涵于其中的数学思想方法，逐步形成数学观念.

⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?

解：设二次函数与x轴的两交点为(x₁,0)，(x₂,0)

解法㈠由⑴可知m为任何实数时, 都有△＞0

解①

∴x1＋x2=m2－1

x1·x2=－2(m2＋1)

∴│x2－x1│=

=

=

=

= m2＋3

∴当m =0时,两交点最小距离为3

这里两交点间距离是m的函数

设计意图：培养学生的问题意识.在解题过程中，发现问题，并能运用已有的数学知识，将其一般化，形式化，解决问题，体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想

问题：观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同?具有一般的规律吗?如何说明.

设x₁、x₂为ax²＋bx＋c = 0的两根

可以推出：

还可以理解为顶点到x轴距离最短.

设计意图：在对比、分析中，明确概念，揭示知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构.

小结：观察这道题的结论，我们猜测出规律，将其一般化，推导出这个公式，这是学习数学知识的一般方法.

解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根.

思考：一元二次方程与二次函数的关系.

思考：求m取什么实数时，y = x²－（m²－1）x－2m²－2被直线y = 2所截得的线段最短?是多少?

练习：

观察函数的图象，回答：

（1）y>0时，x的取值范围如何?

（2）y=0时，x取什么值?

y<0时，x的取值范围如何?

小结：数与形是数学中相互依赖的两个方面.图形比较直观，可以启发思路；而数学的严格证明也是必不可少的.直观性和形式化是数学的两重性.