二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象 人教课标九年级下册
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1．会用描点法画出二次函数的图象．
2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置．
3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．
名师精讲
1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2＋k，y=ax2＋bx＋c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式 | y=ax2 | y=a(x-h)2 | y=a(x-h)2＋k | y=ax2＋bx＋c |
顶点坐标 | (0，0) | (h，0) | (h，k) | ( |
对称轴 | x=0 | x=h | x=h | x= |
)
当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2＋k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2＋k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2＋k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2＋k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2＋k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=
，顶点坐标是(
)．
3．抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)，若a>0，当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|=
．
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax2＋bx＋c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=
．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2＋k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
中考典例
1．(北京西城区)抛物线y=x2-2x＋1的对称轴是( )
(A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2
考点：二次函数y=ax2＋bx＋c的对称轴．
评析：因为抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴方程是：x=-
，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确．
另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2＋k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选A．
2．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：．
考点：二次函数y=ax2＋bx＋c的求法
评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1＜x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2).
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1＋ x2=8①
∵S△ABC=3，∴
(x2- x1)·|a x1x2|= 3，
即：x2- x1=
②
①②两式相加减，可得：x2=4＋
，x1=4-
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-
x＋1 或y=-x2＋x-1 或y=x2-
x＋3 或y=-x2＋x-3
说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。
3．( 河北省)如图13-28所示，二次函数y=x2-4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为( )
A、6B、4C、3D、1
考点：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象及性质的运用。
评析：由函数图象可知C点坐标为(0，3)，再由x2-4x＋3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点之间的距离为2。那么△ABC的面积为3，故应选C。
图13-28
4．( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2＋2.6x＋43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低?
(2)第10分时，学生的接受能力是什么?
(3)第几分时，学生的接受能力最强?
考点：二次函数y=ax2＋bx＋c的性质。
评析：将抛物线y=-0.1x2＋2.6x＋43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2＋59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x≤13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤30，所以两个范围应为0≤x≤13；13≤x≤30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：
解：(1)y=-0.1x2＋2.6x＋43=-0.1(x-13)2＋59.9
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。
当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降。
(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2＋59.9=59。
第10分时，学生的接受能力为59。
(3)x=13时，y取得最大值，
所以，在第13分时，学生的接受能力最强。
5．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少?
解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为
:(55–40)×450=6750(元)．
(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元，所以月销售利润为：
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2＋1400x–40000(元)，
∴y与x的函数解析式为：y =–10x2＋1400x–40000．
(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2＋1400x–40000=8000，
即：x2–140x＋4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：
40×400=16000(元)；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：
40×200=8000(元)；
由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元
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