多边形及其内角和 教学设计
§17.3 多边形及其内角和
教材分析
多边形是以三角形为基础，利用类比和化归思想探索多边形的有关概念，多边形的内角和与外角和公式，使学生体会类比与化归思想在数学中的应用．
多边形的探索在三角形的基础上进行，学生以前所学的正方形、长方形等也都是多边形，探索这些图形的性质都可以分割成几个三角形进行解决．所以不仅要类比探索三角形的方法来探索多边形，还要将多边形分解成三角形进行研究，这就是本节课所涉及的类比思想与化归思想，进而培养学生发现问题和解决问题的能力，学会将新知识转化为已学的旧知识进行解决问题的方法．
本节的重点是对多边形有关概念的了解，难点是对多边形的内角和与外角和公式的理解和运用．在本节突出体现了类比思想与化归思想的应用，所以，教师应关注学生的交流过程，指导学生运用这两种思想解决问题．
在教学过程中，教师应关注学生之间的交流和学生的思想活动，提高学生的合作意识和数学表达能力．同时不仅要让学生注意到各部分知识的联系，还要保持各部分知识的相对独立性，使其条理清晰，层次分明．
【课时分配】2课时
§7.3.1多边形
【教学重点与难点】
教学重点：1．了解多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等有关概念．
2．了解正多边形的基本性质．
教学难点：1．在多边形的概念中，强调“在同一平面内”．
2．对多边形对角线的理解．
3．对正多边形性质的理解．
【教学目标】
1．了解多边形的有关概念．毛
2．了解正多边形的基本性质．
【教学方法】
创设情境，从生活中常见的图形出发，激发学生兴趣，引导学生发现并解决问题．教学环节的设计与展开，都要关注学生的交流与思想活动，引导学生利用类比和化归的方法解决问题，体会数学思想的重要性．建议本节课使用多媒体进行辅助教学．
【教学过程】
一．创设情境 提出问题
（设计说明：通过展示现实生活的各种图片，让学生从常见图形入手，降低知识难度，激发学生自主学习的兴趣和积极性，并引入新课．）
问题1：观察下面的图片，你能找到哪些我们熟悉的图形?
|
学生回答：三角形、长方形、正方形、梯形、平行四边形、五边形、六边形、八边形等．
问题2：这些图形我们要给出一个统一的名称，称它们为多边形．那么到底什么是多边形呢?
（教学说明：对于常见图形的回答，只要学生能够在图形中找到，无论是凸多边形还是凹多边形，教师都要给予肯定．而问题2的提出，不仅仅是引入课题，同时也引起学生的思考．）
二、探索新知 解决问题
1．观察多边形的构成，类比三角形的有关概念探索多边形的有关概念
（设计说明：三角形是多边形中最简单的一个图形，所以要类比三角形的有关概念探索多边形的有关概念．）
问题1：观察画多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗?
学生交流，教师强调“在平面内”，并总结：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．
教师讲解：如果一个多边形有n条边，我们就叫它n边形．但要注意，n所代表的数字必须是汉字中的数字，如三角形、六边形、十边形、十七边形等．但当问题问这个n边形有几条边时，我们可以用阿拉伯数字说明这个n边形有3条边、6条边等．
问题2：观察这个多边形，为什么有一条边是虚线?
学生回答：虚线代表的是“不只一条边”，所以这个图形不仅可以代表七边形，也可以代表八边形、九边形等任意一个多边形．
问题3：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角和对角线．
学生讨论回答：组成多边形的线段叫多边形的边；相邻两边的交点叫做它的顶点；相邻两边的夹角叫做它的内角；多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角；连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
问题4：三角形有对角线吗?为什么?
学生回答：三角形没有对角线，因为三角形只有三个顶点，而这三个顶点是两两相邻的，它没有不相邻的顶点，所以没有对角线．
问题5：回想三角形的表示方法，这个多边形应如何表示?
学生回答：首先给每一个顶点标上一个大写字母，然后写出这个图形是几边形，最后再以一个字母为起点，沿顺时针或逆时针方向将字母按顺序写出．如：四边形ABCD，五边形ABCDE，n边形A1A2A3…An等．
问题6：如图所示，观察两个图形，找出相同点和不同点．
学生回答：相同点是这两个图形都有五条边，都是五边形．
不同点是，左边图形有一个内角大于180°，而右边图形的每个内角都小于180°．
教师讲解：如图，画出多边形一边所在直线，我们发现左边的图形分布在直线两侧，而右边图形都在直线的同侧．那么，像这样，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形；如果整个图形不在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凹多边形．当然，根据多边形的内角是否大于180°，我们也可以区分这两种多边形．而在本节我们只讨论凸多边形．
（教学说明：本环节充分体现了类比思想在数学中的应用．所以在教学时，教师要让学生类比着三角形的有关概念来总结多边形的有关概念．但应注意的是，三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的．但边数大于3的多边形就不是这样了．由于我们现在只研究平面图形，所以在多边形的定义中必须加上“在平面内”这个条件．而对于多边形的对角线，这是学生第一次接触，所以在总结概念时，教师要适当加以引导，同时也要让学生明白，除三角形外，多边形的对角线不只一条．在问题6中，只要学生的结论正确，教师就要加以肯定，而对于凹多边形这个概念，教科书中并没有提及，所以可以不讲．虽然本环节以学生自主探究为主，但在需要强调的细节问题上，教师也要给予一定的强调，如多边形的名称及记法等．）
2．自主探索正多边形的概念及基本性质．
（设计说明：从图形入手，自主探索正多边形的概念，以培养学生观察事物的能力，从而发现问题并解决问题．）
|
学生回答：它们边都相等，它们的角也都相等．
问题2：像这样的多边形我们称为正多边形．请用自己的语言说明什么是正多边形?
学生回答：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
问题3：下面的叙述是否正确?（正确的请说明理由，错误的请举出反例．）
（1）各个角都相等的多边形叫做正多边形．
（2）各条边都相等的多边形叫做正多边形．
学生回答：这两种说法都不正确．反例：（1）长方形的各个角都相等，但不是正四边形．（2）菱形的各条边都相等，，但不是正四边形．
问题4：由定义可知，正多边形有什么性质?
学生回答：正多边形的各个角都相等，各条边都相等．
（教学说明：在这个环节，教师要尽量让学生自已去发现结论，用自己的语言进行说明，从而培养学生归纳能力和语言表达能力．而对于问题4，教师可以借此说明，一个图形的定义既是这个图形的一种判定方法，也是这个图形的一种性质．）
三、巩固训练 熟练技能
（设计说明：通过基础练习，加深对新知识的理解和运用，形成初步技能．）
练习1.判断题．
1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（ ）
2．由不在一条直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（ ）
3．由不在一条直线上四条线段首尾顺次相接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形．（ ）
4．在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（ ）
学生：×，×，×，√．
练习2．填空题．
1．连接多边形 的线段，叫做多边形的对角线．
2．多边形的任何 所在的直线，整个多边形都在这条直线的 ，这样的多边形叫凸多边形．
3．各个角 ，各条边 的多边形，叫正多边形．
4．一个n边形有 条边， 个顶点， 个内角， 个外角．
学生：
1．不相邻的两个顶点．
2．一条边，同一侧．
3．都相等，都相等．
4．n条边，n个顶点， n个内角， n个外角．
练习3．画出下列多边形的全部对角线．
 |
学生：如图．
（教学说明：练习以基础为主，使学生加深认识．练习2也为后面的提高题打下基础．）
四、反思总结 情意发展
（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）
问题1：本节课你学习了什么?
问题2：本节课你有哪些收获?
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?
（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构）
五、课堂小结
1．本节主要学习多边形及有关概念，多边形的分类和正多边形的概念及基本性质．
2．本节涉及到的思想方法是类比思想．
3．注意的问题：
（１）在多边形定义中要强调“在平面内”．
（２）正多边形必须满足两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等．
六、布置作业
1、课本84页习题7.3的1；
（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习题是针对本节的重、难点进行巩固．）
七、拓展练习
（设计说明：在学习基础知识的基础上，拓展学生思维，提高学生的学习兴趣。）
练习1：从一个顶点出发，四边形可以画1条对角线，将四边形分成2个三角形；五边形可以画 条对角线，将五边形分成 个三角形；六边形可以画 条对角线，将六边形分成 个三角形……n边形可以画 条对角线，将n边形分成 个三角形．
学生：2，3；3，4；（n -3），（n -2）.
练习2：填表：
三角形 | 四边形 | 五边形 | 六边形 | … | n边形 | |
对角线 总条数 | 0 | 2 | … |
三角形 | 四边形 | 五边形 | 六边形 | … | n边形 | |
对角线 总条数 | 0 | 2 | 5 | 9 | … |
|
学生：
（教学说明：练习1是为下一节学习多边形的内角和打基础，可以要求学生独立完成，但练习2是对练习1的一个拓展，为了教会学生找对角线的方法，所以教师要加以引导，要让学生明白结论是如何得到的：n边形从一个顶点出发，可以作（n -3）条对角线，n边形共有n个顶点，每个顶点作（n -3）条对角线，所以一共可以作n（n -3）条对角线，但由于“两点确定一条直线”，所以每条对角线都作了2次，所以要除以2．）
【评价与反思】
本节内容是在已经学过三角形基本知识的基础上，了解多边形的概念、表示方法及相关性质的一节探究课．
本节的知识内容是在三角形有关知识的基础上，类比对三角形有关性质的探索过程，对多边形及其有关性质进行探究．在教学过程中，教师需要不断提问，以引导学生从新知识中发现与以前所学知识的相似之处，运用类比思想解决问题．无论哪一个问题，教师都要留给学生一定的思考时间，并对学生的答案给予一定的评价，让学生在经历探究过程中，体会数学思想的重要性．
在教学设计上，关注学生的思维变化，关注学生得出结论的过程，让学生体会数学知识的环环相扣，重视基础知识的学习．当学生在亲自经历整个探究过程后，能够更深入的理解和掌握多边形及其相关概念，获得数学活动的经验，体验数学学习的乐趣．
中考 高考名著
常用成语