第九章 不等式与不等式组复习

§第九章 不等式与不等式组复习

教材分析：

本章所学知识是在学生学习了一元一次方程和二元一次方程组的基础上，研究简单的不等关系.首先通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念；然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、解集的数轴表示，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法及其简单应用.通过探究这些问题，可以进一步提高学生的类比能力，逐步渗透数学建模思想，初步体会方程与不等式的内在联系与区别.

本章重点、难点是一元一次不等式及一元一次不等式组的解法.本章还介绍了实际问题与一元一次不等式（组）.在本章的复习中，主要从两方面进行：一是帮助学生理清本章知识结构；通过引导师生共同梳理知识，建构知识框架.二是掌握一元一次不等式组的解法以及解决实际问题的数学建模训练.

【教学重点与难点】

教学重点：不等式的基本性质及解一元一次不等式(组).

教学难点：本章知识结构与框架的建立.

【教学目标】

1.归纳本章学过的知识，使学生系统地理解本章有关概念，正确掌握不等式的性质，熟练地解一元一次不等式和一元一次不等式组及它们的应用；

2.通过回顾与总结，培养并提高学生归纳、对比及分析问题和解决问题的能力.

【教学方法】

设计典型例题，学生利用问题展开探索交流.在学生把握基本内容的基础上，教师引导学生进一步提炼，构建知识体系，科学地进行小结与归纳.在此基础上，通过学生尝试解决问题，以及师生之间、生生之间的讨论交流，使学生对数学思想方法的认识更深刻，对解决问题的策略把握得更灵活。

【教学过程】

一、熟悉知识体系

（设计说明：通过引领学生回忆本章的知识要点，形成知识框架，让学生对本章知识有一个整体的把握，同时了解各知识之间的内在联系。）

二、知识要点回顾

(一)基础知识

（设计说明：以填空的形式引导学生回忆全章的有关知识，使学生掌握的知识更加深刻、系

1、不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式：

用“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”、“”、“表示不等关系的式子也是不等式；

使不等式成立的_______________叫做不等式的解；

一个含有未知数的不等式的_____________，组成这个不等式的解集；

求__________________的过程叫做解不等式．

2、一元一次不等式：

只含有_________ ，并且未知数的最高次数是______，这样的不等式，叫做一元一次不等式．

3、不等式的基本性质：

性质l:不等式的两边都加上(或减去)________________，不等号的方向_______；

性质2:不等式的两边都乘以(或除以)_______不等号的方向_____ ；

性质3:不等式的两边都乘以(或除以)_______，不等号的方向____．

4、解一元一次不等式步骤

与解一元一次方程相类似，基本步骤是：____________________,特别注意:当系数化为1时，不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向_____.

不等式解法与方程的解法类比：

从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的。在学习一元一次方程时利用等式的两个基本性质求得一元一次方程的解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出若用不等式的三条基本性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。

例如：解下列方程和不等式：

；

解： 3(2＋x)＝2(2x－1)＋6 1、去分母：　 解：3(2＋x)≥2(2x－1)＋6

6＋3x＝4x－2＋6 2、去括号： 6＋3x≥4x－2＋6

3x－4x＝－2＋6－6 　3、移项： 3x－4x≥－2＋6－6

　－x＝－2 4、合并同类项：　－x≥－2

x＝2 5、系数化为1： x≤2

∴x＝2是原方程的解 　 ∴x≤2是原不等式的解集。

注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。

5、一元一次不等式组的解集

一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的_______，叫做这个不等式组的解集.

6、解一元一次不等式组的步骤

（1） 求出不等式组中每个不等式的解集

（2） 借助数轴找出各解集的公共部分

（3） 写出不等式组的解集

求公共部分的规律:大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解.

例：解不等式组

解：解不等式①，得 x>2.

解不等式② ，得 x>3.

在数轴上表示不等式①， ②的解集

SHApE \* MERGEFORMAT

所以这个不等式组的解集是 x>3.

7、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：（1） 审题；（2）_______________；

（3）根据不等关系列不等组；（4）______________；（5）检验并作答。

（教学说明：在教学过程中，借助前面的知识框架，以提问的方式引导学生回顾以上知识点，有些知识点要借助具体问题帮助学生回忆，如一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法等.由于学生有的知识遗忘了，有的知识不能很好的用数学语言表达，教师应有充分的耐心听学生说完，并注意及时规范学生的不准确的表述。通过以上复习，使学生把全章知识串起来，使全章知识系统化、条理化、全面化.）

（二）、基本应用（例题精讲）

（设计说明：巩固学生对所学知识的进一步理解和应用，提高学生应用数学知识解决问题的能力.）

例1.解不等式：

x＋＞1－

思考：（1）不等式的基本性质3你知道吗?

（2）解一元一次不等式通常有哪几个步骤?

（3）在去分母时，通常应注意哪两点?

思路分析：对本例，首先应去分母，化成标准形式求解．

解：去分母，得8x＋3(x＋1)＞8－4(x－5)

去括号，得8x＋3x＋3＞8－4x＋20

移项， 得8x＋3x＋4x＞8＋20－3

合并同类项，得15x＞25

系数化为1，得 x＞

在解不等式的过程中，去分母时，不能漏乘每一项，并且要注意添括号，在去括号及移项的过程中，要注意符号的变化，尤其系数化为1时，对于系数为负数时，一定要注意不等号方向的变化．只要抓住这几点，解一元一次不等式便可掌握．

例2.当x为何值时，代数式－1的值不小于的值?

思考：（1）“不小于”怎样用数学符号表示?“不大于”呢?

（2）解此类问题首先应干什么?

思路分析：解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解．

解：依题意，得

－1≥

∴4(2x＋1)－12≥3(3＋5x)

8x－15x≥9＋12－4

－7x≥17

∴x≤－

所以，当x≤－时，代数式－1的值不小于的值．

例3、x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值?

解：依题意需求不等式≥的解集。

解这个不等式：去分母：24－2(x－1)≥3(x＋2)

去括号：24－2x＋2≥3x＋6

移项：－2x－3x≥6－24－2

合并同类项：－5x≥－20

系数化为1：x≤4

x≤4的正整数为x＝1， 2， 3， 4.

答：当x取1， 2， 3， 4时，代数式的值不小于代数式的值。

小结：此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解。

例4.已知不等式5(x－2)＋8＜6(x－1)＋7的最小整数解为方程2x－ax=3的解．求代数式4a－.

思路分析：本例是一道不等式，方程，求代数式值交融一体的综合题，必须各个击破，一个问题一个问题的解决，便可攻破，这也是解综合题的常用方法．

解：5(x－2)＋8＜6(x－1)＋7

5x－10＋8＜6x－6＋7

5x－6x＜ - 6＋7＋10-8

-x<3

∴x＞－3

∴此不等式的最小整数解为x=－2

∵x=－2为方程2x－ax=3的解

∴2·(－2)－a·(－2)=3

∴ a=

当 a=时，

4a－=4×－=14－4=10

例5、（2007四川成都）解不等式组，并写出该不等式组的整数解.

分析：此题是带有附加条件的不等式组，这时应先求不等式组的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解。

解：解不等式①得 x≤1，

解不等式②得 x＞-2，

所以不等式组的解集为 -2＜x≤1.

因为x取整数，所以x= -1，0，1.

所以不等式组的整数解为-1，0，1.

例6.工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方?

思考：（1）列一元一次方程解应用题有哪些步骤?

（2）如何依题意找相等关系?

（3）如何根据题意找不等关系来解决一元一次不等式应用题?

思路分析：一元一次不等式应用题的解法与列一元一次方程解应用题基本相仿，关键是找出不等关系，列出不等式，即可求解．

解：设后几天每天平均完成x土方，根据题意，得

60＋(6－1－2)x≥300

解之得 x≥80

答：每天平均至少挖土80土方．

例7、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分２件，则剩余３件；若前面每人分３件，则最后一个人分到玩具，但分到的玩具数不足２件．求小朋友的人数与玩具数

分析：由于最后一个人分到玩具，但分到的玩具数不足２件，所以该问题应该是建立不等式模型来解决；若设有x个小朋友，则玩具有(2x＋3)件，分到3件玩具的小朋友有(x-1)个，另一个小朋友分到玩具，但分到的玩具数不足２件，这样我们就可以得到不等式：

解不等式得 4＜x＜6，

因为x取整数，所以x=5.

所以玩具有2×5＋3=13（件）.

三、巩固训练，熟练技能：

（设计说明：通过不同的基础练习，帮助学生进一步理解本章所学知识.）

1、不等式-X＞-2的解集是( )

A X＞2 B. X＞-2 C. X＜2 D. X＜-2

2、（2007山东枣庄）不等式2x-7<5-2x的正整数解有（ ）

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

3、（2007浙江台州）不等式组的解集为（ ）

Ａ． 1≤x＜2 Ｂ．X≥1 Ｃ．X<2 Ｄ．无解

4、(2007湖北咸宁)不等式组的整数解是___________.

5、（2007山东威海）解不等式组：

6、m取何值时，关于x的方程的解大于1.

7、（2007年山东济南课改）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆.经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人合0件行李.

（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校涉及所有可能的租车方案；

（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案.

参考答案：1、C 2、B 3、Ａ 4、0，1，2. 5、-2≤x＜

6、解关于x的方程得，由于方程的解大于1，

所以，

解得 m＞2.

7、解：（1）设租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（8-x）辆.

由题意得，解得5≤x≤6.

即共有2种租车方案：

第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；

第一种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆.

(2)第一种租车方案的费用为5×2000＋3×1800=15400（元）；

第二种租车方案的费用为6×2000＋2×1800=15600（元）.

所以第一种租车方案更省钱.

（教学说明：这一环节是为了评价本节课的教学效果，检验教学目标的达成情况，教师可根据学生反馈的具体情况作适当的评价与弥补，从而达到巩固提高的目的.）

四、总结反思，情意发展

（设计说明：围绕四个问题，师生共同总结本节课的学习收获。）

1、 哪些本已遗忘的知识得到巩固?

2、哪些知识有新的认识?

3、本章主要蕴涵了哪种数学思想?

4、结合你自己的复习情况，谈谈你还有什么疑问?

（教学说明：通过回顾和反思，让学生看到自己的进步，激励学生，使学生相信自己在今后的学习中不断进步，同时促进学生形成良好的反思习惯.）

五、课堂小结

1．本节重点复习归纳了本章的基础知识，提高了学生各知识点的综合应用能力.

2．主要用到的思想方法是数形结合思想、类比思想、模型化思想. 通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想；通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想；通过实际问题的应用，进一步领会模型化思想.

3．注意的问题: 复习时将平时易错的知识点、感到疑难的问题做重点处理，不留尾巴.

六、布置课后作业：

课本148页复习题9的2、3、7、8题

七、拓展练习

1、（2007湖北天门）关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是（ ）

A、0 B、－3 C、－2 D、－1

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2、已知一元一次不等式组的解集为，则（ ）

A． B． C． D．

3、一元一次不等式组的解集是x>a,则a与b的关系为( )

4、不等式≥的正整数解有（　）

Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、无数个

5、不等式的最小整数解为（ ）

A -1 B 0 C 2 D 3

6、不等式组 的整数解为_________

7、已知关于x的不等式组的整数解有5个，求a的取值范围.

8、某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册．甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．

（1）请写出制作纪念册的册数与甲公司的收费的关系式；

（2）请写出制作纪念册的册数与乙公司的收费的关系式；

（3）如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司?

参考答案：1、D 2、B 3、B 4、B 5、A 6、-3，-2.

7、解析:不等式组可化为.

由于它有解集，所以解集为a≤x＜2，它的解集中包含五个整数，这五个整数一次为1，0，-1，-2，-3，反映在数轴上，a只须 -4＜a≤-3.

点评：要求不等式组的解集符合一些条件，先找到这个解集，然后把它描述在数轴上，结合条件得到结论.

8、设学校准备制作x册纪念册，则甲公司收费y_甲 元，乙公司收费y_乙元，

（1）y_甲=5x＋1500

(2) y_乙=8x

(3)若两架收费相同时，5x＋1500=8x

解得 x=500

若甲家收费较少时，5x＋1500＜8x

解得 x＞500

若乙家收费较少时，5x＋1500＞8x

解得 x＜500

所以，当x=500时，选择甲、乙两家都一样；

当x＞500时，选择甲公司；

当x＜500时，选择乙公司.

（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，课本习题的训练形式较少，因此作适当的补充，多角度、多形式的对学生所学知识进行巩固，并在此过程中，拓宽学生的视野，培养学生灵活应用知识分析问题解决问题的能力。）

【评价与反思】

本节复习是以“问题串”的形式引导学生回顾梳理主要知识点，构建知识体系----通过典型例题探究加深对主要思想方法的理解，掌握常用解题方法 .

在教学中，关注学生是否认真思考，相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况，使学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系.借助典型例题重点强化利用一元一次不等式（组）进行计算，训练学生解不等式（组）及利用不等式（组）解决问题的技能，从而提高他们运用所学知识去分析问题和解决问题的能力 .