第八章 二元一次方程组复习设计

第八章 二元一次方程组复习

教材分析

本课是第八章的章末复习课，是学生再认知的过程，因此主要任务使学生在复习回顾的基础上，系统掌握本章的主要内容及其联系，并进一步训练学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力。

本章主要内容包括：利用二元一次方程组分析与解决实际问题，二元一次方程组及其相关概念，消元思想和用代入法、加减法解二元一次方程组以及三元一次方程组解法举例。其中，以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题既是本章的重点，又是难点。

本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程组这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程组的过程中蕴涵的消元、化归思想，它在解方程组中具有指导作用。解二元一次方程组的各个步骤，都是为最终使方程组变形为x=a，的形式而实施的，即在保持各方程的左右两边相等关系的前提之下，使“未知”逐步转化为“已知”。解三元以及多元方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，以至使方程组化归为一元方程，先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数。代入法和加减法都是消元解方程组的方法，只是具体消元的手法有所不同。

【课时分配】1课时

【教学重点与难点】

教学重点：解二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题。

教学难点：如何找等量关系，并把它们转化成方程。

【教学目标】

1. 能熟练、准确地解二元一次方程组；会用二元一次方程组解决实际问题；通过对本章的内容进行回顾和总结，能把握各知识点间的联系，进一步感受方程（组）模型的重要性。

2. 通过回顾反思，进一步加深对数学中的消元、化归思想的理解，熟练、灵活地运用消元法解方程组；学会如何构建知识体系，体会前后知识间的联系。

【教学方法】

教师组织学习材料，为学生创设理想的学习环境，学生利用问题展开探索交流.在学生把握基本内容的基础上，教师引导学生进一步提炼，构建知识体系；在此基础上，通过学生尝试解决问题，以及师生之间、生生之间的讨论交流，使学生对数学思想方法的认识更深刻，对解决问题的策略把握得更灵活。

【教学过程】

一、知识网络构建

（设计说明：利用一组小练习，引导学生回顾本章主要内容，体会各知识点间的联系，构建知识网络，使学生对本章内容及其间的关系有清晰完整的认识。）

课前热身练习题（要求学生上课之前完成，上课时交流订正）

1.写出方程2x－5y=18的3个解（答案不唯一，二元一次方程有无数个解，只要满足要求即可）

2.用合适的方法解方程组

答案：

3. 小红和爷爷在400米环形跑道上跑步。他们从某处同时出发，如果同向而行，那么经过200s小红追上爷爷；如果背向而行，那么经过40s两人相遇，求他们的跑步速度。

答案：小红和爷爷跑步的速度分别是6m/s,4m/s

4.已知三角形的周长是18cm，其中两边的和等于第三边的2倍，而这两边的差等与第三边的，求这个三角形的各边长。

设三边的长分别是xcm,ycm,zcm（x>y）

那么

你会解这个方程组吗?

答案： x=7

y=5

z=6

问题1：每个问题你是怎样解决的?用到了那些知识点?和你小组中其他的同学交流一下。

（教学说明：利用第1题复习二元一次方程及其解的概念；通过第2题熟悉方程组的解法，提醒学生较复杂的方程组应先化简，后确定用哪种方法解；设计第3题主要是用来回顾列方程解应用题的一般步骤，提醒学生通过画图分析题目中的数量关系；第4题的作用主要是让学生体会三元一次方程组的用途同时用以训练学生的计算技能。学生回答时要说清楚以下几方面的问题：怎样做的，结果是什么?用到的知识点的具体内容是什么，做完后有什么新的体会?）

问题2：本章的重要内容有哪些?它们之间有怎样的联系?

1. 重要知识点梳理

①二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是一次的整式方程.

二元一次方程的解集：适合二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解；由这个二元一次方程的所有解组成的集合叫做这个二元一次方程的解集.

②二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组.

③二元一次方程组解：适合二元一次方程组里各个方程的一对未知数的值，叫做这个方程组里各个方程的公共解，也叫做这个方程组的解.

④解方程组：求出方程组的解或确定方程组没有解的过程叫做解方程组。

⑤解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法（简称代入法和加减法）

代入法解题步骤：把方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，可先求出一个未知数的值；把求得的这个未知数的值代入第一步所得的式子中，可求得另一个未知数的值，这样就得到了方程的解

加减法解题步骤：把方程组里的一个（或两个）方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数的绝对值相等；把所得到的两个方程的两边分别相加（或相减），消去另一个未知数的一元一次方程（以下步骤与代入法相同）

⑥列二元一次方程组解应用题的步骤与列方程解应用提的步骤相同，即“设”“列”“解”“验”“答”.

2.利用二（三）元一次方程组解决问题的基本过程

3.本章知识安排的前后顺序

（教学说明：准备练习课前完成，上课时通过交流订正复习主要知识点，结合学生的回答逐步构建知识体系．）

二、典型问题探究

（设计说明：通过对本章中几个典型问题的探究，进一步熟悉常用的数学思想方法及解题技巧，提高学生分析解决问题的能力）

问题1 方程2x＋y=9 在正整数范围内的解有＿＿＿个

问题2 解方程组

问题3用正方形和长方形的两种硬纸片制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒（如图）。如果长方形的宽与正方形的边长相等，150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片可以制作甲、乙两种纸盒各多少个?

硬纸片 甲种纸盒 乙种纸盒

提出以下问题引导学生思考：

每个甲种纸盒要正方形硬纸片几张? 1张

每个乙种纸盒要正方形硬纸片几张? 2张

每个甲种纸盒要长方形硬纸片几张? 4张

每个乙种纸盒要长方形硬纸片几张? 3张

解：设可制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个

由题意得，

解这个方程得

答：可制作甲种纸盒30个，乙种纸盒60个.

问题4 某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零 件100个，或者丙种零件200个，甲，乙，丙3种 零件分别取3个，2个，1个，才能配一套，要在 30天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙3种 零件各应生产多少天?

（教学说明：先让学生独立思考尝试解决，然后结合板演交流点评，教师只在关键处加以点拨．）

三、课堂巩固训练

（设计说明：通过练习，训练学生利用所学知识灵活解决问题的能力。）

1. 已知|x＋y|＋（x-y＋3）²=0，求x,y的值。

答案：x= -1.5,y=1.5

2. 某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度。

解：设火车的速度为xmin/s，设火车的长为ym

由题意得

解这个方程得

答：火车的速度为20min/s，设火车的长为200m.

3、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源。某市采用价格调控手段达到节约水的目的。规定：每户居民每月用水不超过6时，按基本价格收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示，试求用水收费的两种价格。

分析：由表格看到什么信息?

4月份用水超过6，所以水费有两部分组成21元。

5月份用水超过6，所以水费有两部分组成27元。

解：设基本价格为x元/；超过6部分的按y元/.

由题意知

解这个方程得

答:基本价格为1.5元/；超过6部分的按6元/

（教学说明：独立完成，集体订正）

四、反思总结 情意发展

（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）

问题1：本节课你学习了什么?

问题2：本节课你有哪些收获?

问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?

（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构）

五、课堂小结

1．本节主要学习如何将一单元的知识进行整理归纳，形成知识体系。

2．主要用到的思想方法是符号化、模型化思想，消元化归思想。

3．注意的问题:

（１）复习时将平时易错的知识点、感到疑难的问题做重点处理，不留尾巴。

（２）分析问题是选择合适的方法，是列表、用式子还是画图?要根据题目特点确定

（3）在复习的基础上提高，尤其是对知识方法的理解及对知识的综合创新应用。

六、布置作业

1. 在方程 (a²-4)x²＋(2-3a)x＋(a＋2)y＋3a=0 中，若此方程为二元一次方程，则a的值为＿＿＿＿＿＿

2. 某种植大户计划安排10个劳动力来耕作

30亩土地，这些土地可以种蔬菜也可以种水稻，种这些作物所需劳动力及预计产值如右表，为了使所有土地种上作物，全部劳动力都有工作，应安排种蔬菜的劳动力

为 人，这时预计产值为 元。

答案：5，44000

3、七年级（2）班的一个综合实践活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“五一”

期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景，根据他们的对话，请你分别求出A、B两个超市今年“五一”期间的销售额.

答案：A、B两个超市今年“五一”期间的销售额分别是115万元，55万元

4.课本118页复习题3，4，5，6

（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，方程组的解法及应用。）

七、拓展练习

（设计说明：利用本组题目，开拓学生视野，满足不同学生的发展需要。）

1．已知甲、乙两人的年收入之比为3︰2，年支出之比为7︰4，年终时两人各余400元，若设甲的年收入为x元，年支出为y元，则可列方程组为（ ）

A、 B、 C、 D、

答案：D

2. 若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x＋3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值应是（ ）

A、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=3

答案：B

3. 解方程组（1） （2）

4. 如图，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个相同的矩形，

求长方形ABCD的面积.

提示：先求出小矩形的长和宽（10cm,4cm）,然后求长方形ABCD的面积.

（280cm²）

5．(2008 山东聊城) 实验中学组织爱心捐款支援灾区活动，九年级一班55名同学共捐款1180元，捐款情况见下表．表中捐款10元和20元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，请你帮助确定表中的数据．

解：设捐10元的同学有人，捐20元的同学有人，根据题意，得

化简，得

解这个方程组，得

答：捐款10元和20元的同学分别为4人和38人

6.（2008 山东泰安） 某厂工人小王某月工作的部分信息如下：

信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；

信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．

生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：

信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分?

（2）小王该月最多能得多少元?此时生产甲、乙两种产品分别多少件?

（1）解：设生产一件甲种产品需分，生产一件乙种产品需分，由题意得：

即

解这个方程组得：

生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．

（2）解：设生产甲种产品用分，则生产乙种产品用分，则生产甲种产品件，生产乙种产品件．

又，得

由一次函数的增减性，当时取得最大值，此时（元）

此时甲有（件），乙有：（件）

注：本题只做（1）

（教学说明：教学时可根据实际做调整，要让学生充分的合作交流，共同解决问题）

【评价与反思】

1.复习课教学模式的探讨：利用基础题组回顾梳理主要知识点，构建知识体系----通过典型问题探究加深对主要思想方法的理解，掌握常用解题方法-----采取限时训练与开放研究相结合的方式进行巩固与拓展练习，以保证技能技巧的形成和不同学生发展的需求.

2.复习课目标的确定：首要的一点是从总体上把握本章主要内容及其间的联系，重在回顾整理，查缺补漏；其次是综合创新，基础知识掌握了，综合灵活地解决问题才有可能，同时问题的难易程度要适合学生的实际情况，注重思维发散性与深刻性的训练，使不同层次的学生通过复习都得到较大的提高.