30°、45°、60°角的三角函数值教学设计
课时安排
1课时
从容说课
本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值.
三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力.
第三课时
课 题
§1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
(二)思维训练要求
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.
2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教具重点
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
教学难点
进一步体会三角函数的意义.
教学方法
自主探索法
教学准备
一副三角尺
多媒体演示
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)
[生]我们组设计的方案如下：
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢
[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一
半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2＋a2.
CD＝
a.
则树的高度即可求出.
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=
，则CD=
atan30°，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗
Ⅱ.讲授新课
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角它们分别等于多少度
[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.
[师]sin30°等于多少呢你是怎样得到的与同伴交流.
[生]sin30°＝
.
sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与
斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝
.
[师]cos30°等于多少tan30°呢
[生]cos30°＝
.
tan30°=
[师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少你是如何得到的
[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=
,
cos60°=
,
tan60°＝
.
[生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=
cos60°=sin(90°-
60°)=sin30°=
.
[师生共析]我们一同来
求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边
a.由此可求得
sin45°=
,
cos45°＝
,
tan45°=
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°、45°、60°角的三角函数值
| sinα | coα | tanα |
30° |
|
|
|
45° |
|
| 1 |
60° |
|
|
|
三角函数角
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢
[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为
，
，
，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢
[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为
，
，
，余弦值随角度的增大而减小.
[师]第三列呢
[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.
[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、
45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
2.例题讲解(多媒体演示)
[例1]计算：
(1)sin30°＋cos45°；
(2)sin260°＋cos260°-tan45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示
(cos60°)2.
解：(1)sin30°＋cos45°=
,
(2)sin260°＋cos260°-tan45°
=(
)2＋(
)2-1
=
＋
-1
＝0.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解：根据题意(如图)
可知，∠BOD=60°，
OB=OA＝OD=2.5 m，
∠AOD＝
×60°＝30°，
∴OC=OD·cos30°
=2.5×
≈2.165(m).
∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m.
Ⅲ.随堂练习
多媒体演示
1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°＋tan60°；
(3)
sin45°＋sin60°-2cos45°.
解：(1)原式＝
-1=
；
(2)原式=
＋=
(3)原式=
×
＋
×
；
=
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少
解：扶梯的长度为
=14(m)，
所以扶梯的长度为14 m.
Ⅳ.课时小结
本节课总结如下：
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°＝
，sin45°＝
，sin60°＝
；
cos30°＝
，cos45°＝
，cos60°＝
；
tan30°=
，tan45°
＝1，tan60°=
.
(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
Ⅴ.课后作业
习题1.3第1、2题
Ⅵ.活动与探究
(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
(精确到0.1 m，
≈1.41，
≈1.73)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.
[结果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24×
=8
m.
∵DF＝BE，
∴DF=8
≈8×1.73＝13.84(m).
甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).
板书设计
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识：含30°的直角三角形中，30°角
的对边等于斜边的一半.
含45°的直角三角形是等腰直角三角形.
2.30°，45°，60°角的三角函数值列表如下：
角α | sinα | coα | tanα |
30° |
|
|
|
45° |
|
| 1 |
60° |
|
|
|
三角函数角
二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
三、实际应用
备课资料
参考练习
1.(2003年北京石景山)计算：
.
答案：3-
2.(2003年北京崇文)汁算：(
＋1)-1＋2sin30°-
答案：-
3.(2003年广东梅州)计算：(1＋
)0-｜1-sin30°｜1＋(
)-1.
答案：
4. (2003 年广西)计算：sin60°＋
答案：-
5.(2003年内蒙古赤峰)计算；2-3-(
＋π)0-cos60°-
.
答案：-
中考 高考名著
常用成语