“相交线、对顶角”教学设计

[教学目标]

1．知道对顶角和邻补角的意义，能找出图形中一个角的对顶角和邻补角。

2．能说出“对顶角相等”的性质，会用它进行有关的简单推理和计算。

此外，教学过程中使用教具模型并结合图形，培养和锻炼识图能力。

［引导性材料］

1．引导学生观察教科书第56页本章的章前图，展示向远方延伸的铁轨、电线杆上架设的电线等图片，说明图中的铁轨、电线等都可以想象成直线，分析它们之间的位置关系，再引导学生列举现实生活中相交线与平行线的其他实例，启发学生联想，增强学生对直线相交和不相交的感性认识，并认识到相交线和平行线是日常生活中经常见到的，研究这些对今后的学习、工作和生活都有用。首先研究相交线，引入本节课题。

2．出示教具，用一根钉子将两根木条钉在一起，转动本条，引导学生观察两直线相交的不同情况与它们交角的关系，可适当介绍垂直、重合等概念，使学生领会研究相交线为什么要研究它们相交所成的角。

3．回顾补角的概念及同角（或等角）的补角的性质。

[知识产生和发展过程的教学设计]

问题1—1：如图2．1—1，两条直线AB、CD相交于点O，说出图中有几个角?

（通过这个问题让学生回顾角的有关知识，强调：“没有特别说明，所指的角均为小于180°的角。”)

问题1－2：在图2．1－1中找出的四个角，它们的位置关系如何?

图2．1－1

（一方面引导学生从直观上感知角的“对顶”、“相邻”关系，同时训练几何语言的准确表述，说出角与角有“公共顶点”、“公共边”、“一个角的一条边是另一个角的一条边的反向延长线。”）

图中∠1和∠3及∠2和∠4都有公共顶点而没有公共边，但其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线；而∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4及∠1和∠4除了有公共顶点外，还有一条公共边，并且另外一条边在同一条直线上。

问题2—1：再仔细观察图2．1—1，说出∠1和∠3及∠2和∠4有什么特殊的位置关系?

（首先让学生充分感知“对顶角”的特殊位置关系，然后再给出定义。）

两条直线相交得到的四个角中，有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫对顶角。

（定义中的“两条直线相交得到的”条件至关重要，它是对顶角定义的前提。如图2．1—1中∠1和∠3有公共顶点O，它们的边OA和OB、OC和OD分别在同一条直线上，它们是对顶角，通过具体实例，加深对概念的理解。）

问题2－2：图2．1—1中有几对对顶角?

问题3—1：图2．l—1中的∠1和∠2这样的角有什么位置关系?数量上还有什么特别的关系?

（引导学生找出上述两个角的大小关系，说出它们“相邻”并且“互补”。）

两条直线相交得到的，不仅有一个公共顶点，还有一条公共边的两个角叫邻补角。

（重点分析互为邻补角的两个角既相邻又互补的关系。）

问题3－2：观察并说出图2．1—1中还有哪些角是邻补角?

（引导学生不重复、不遗漏地找出所有邻补角，训练分解图形的技能，巩固对概念的理解。）

问题3－3：图2．1－2中的∠AOC和∠BOC是邻补角吗?其中点O为直线AB上任意一点。那么邻补角又可以怎样定义?

邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角。因此，邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角。

（再次强调互为邻补角的两个角“互补”的关系，为下面学习对顶角的性质作铺垫，同时可强调“邻补角”这个词语揭示了两个角位置和数量之间的相互关系。）

问题4—1：在图2．l—3中，∠1的邻补角有几个?它们是哪两个角?这两个角是什么关系的角?

∠1的邻补角是∠2和∠4，所以∠1＋∠2=180°，∠1＋∠4＝180°，∠2和∠4都是∠1的补角，由“同角的补角相等”，可以得出∠2=∠4。

并且由对顶角的定义可知∠2和∠4是对顶角。这样，得到对顶角的一个重要性质：

对顶角相等。

（可强调指出“对顶角相等”这一性质是由于对顶角特殊的位置关系而推到的一种数量关系，这是“形”与“数”相联系的一个例证。并告诉学生，以后再看到有对顶角的已知条件，就要想到它们是相等的。)

上面得到“对顶角相等”的过程是一个推理过程，可以如下格式书与：

∵∠1与∠2互补，∠1与∠4互补(邻补角的定义)。

∴∠2=∠4(同角的补角相等)。

(介绍“邻补角的定义”作为推理的理由的应用。)

图2．1－2

问题4－2：在图2．1－3中根据“对顶角”相等的性质还可以知道哪些角相等?

[例题解析]

例：如图2．l－4，已知直线a、b相交。

（1）∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数。

（2）∠1＋∠3＝80°，求各角的度数．

（3）∠1:∠2=2:7，求各角的度数。

(本例题是在教科书第58页例题的基础上，将已知条件进行转化、变形而编成的。解答本例题需综合运用对顶角相等、邻补角定义，并结合比例性质和方程思想进行分析，有助于巩固对邻补角定义和对顶角相等的性质的理解与应用。教学时，可先让学生口头表述分析求解过程，然后板书给出规范的推理求过程。）

解：（1）∠3＝∠1＝40°（对顶角相等）。

∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°（邻补角定义）。

∠4＝∠2－140°（对顶角相等）。

（2）∵∠1＝∠3（对顶角相等），

∴∠1=∠3＝40°。

∠2=180°－∠1＝180°－40°=140°（邻补角相等)。

∠4＝∠2－140°(对顶角相等）。

（3）∵∠1＋∠2＝180°（邻补角定义），

又∵∠1:∠2＝2:7(已知），

∴∠1=40°，∠2＝140°。

∴∠3=∠l－40°，∠4＝∠2＝140°（对顶角相等）。

［练习］

课本第59页练习第1题。

（通过本题让学生再次巩固对“对顶角定义”的理解。同时，观察图形，问∠AOC和∠BOC是邻补角吗?∠AOD和∠BOD呢?)

课本第59页练习第2、3、4题。

（其中第3题引导学生仔细观察图形，讨论、分析不重复不遗漏找出所有对顶角的方法，让学生充分思考和总结，最后教师进行评价和指点。同时分析第4题中“一个角是90°”而得出哪些结论，为下一节课学习“垂线”作准备。

图1．2－3

〔小结〕

本节学习了两直线相交这种位置关系的有关知识，要学会识别怎样的两个角是对顶角。特别是“对顶角相等”这一性质，要知道它是怎么得出的，要会运用这个性质进行简单的计算，这个性质在今后的学习中还有更广泛的应用。

在例题的讲解中，还渗透了方程思想和比例性质的运用。要学会把复杂图形分解为基本图形的方法，识别出复杂图形中的对顶角。

［作业］

课本第69页习题2．1A组第2、3题。