“平行线的判定”教学设计

[教学目标]

1．能说出平行线的判定公理，即“同位角相等，两直线平行”；能说出判定公理的第一个推论，即“内错角相等，两直线平行”。

2．会用数学语言表示平行线判定公理及其推论，并能根据它们做简单的推理证明。

此外，本节课的教学中还介绍了两种重要的数学思想方法，即化归和分类的思想方法。

［引导性材料］

通过上一节课的学习，学生对平行线的意义已有了较深的认识，但这种认识仅是直观的、感性的认识，而要来说明两直线平行，还只有两个途径：平行线的定义及平行公理的推论，其中平行公理的推论对条件要求较强，要有三条平行线，且其中的两条分别与第三条平行。如果用平行线定义更难以说明两条直线没有交点，因而，需要通过其他途径寻找判定两条直线平行的更普遍的方法。

参照教科书第79页图，制作三根木条组成的教具模型，或让学生用纸条制作类似的教具。展示时，可先摆成一般情况的三条直线相交，让学生指出“三线八角”中各对角的关系名称，既复习旧知，又为后面新课学习作好准备。随后按照教科书第79页所述对其进行旋转变化，并提问：两个同位角（或内错角）的大小有什么关系时，这两根木条互相平行?（让学生大胆猜想。）

[知识产生和发展过程的教学设计]

问题1—1：如图2．5—1(即教科书第79页图2－23)，我们已经会用三角板和直尺过点p画直线AB的平行线CD，你能发现这种画法实际上是画哪两个角相等?

（由学生观察并说出∠DHG=∠BGF，然后指出这两个角是直线AB、CD被EF截得的同位角，这又一次说明了一个大家公认的事实。)

图2．5－1

问题1－2：怎样正确地叙述上面这个公认的事实?

(引导学生准确表述平行线判定公理，简单记为“同位角相等，两直线平行”。)

问题1—3：结合图2．5—1，使用数学的语言表述平行线的判定公理：

∵∠DHG=∠BGF

∴AB∥CD

（进行文字语言翻译为符号语言的训练，教师给出板书，同时为公理的应用奠定基础。）

问题1－4：根据图2．5—2，完成下面的推理过程。

∵∠____=∠____

∴a∥b

(本题有四种答案，设计此问既帮助学生熟悉判定公理，又使学生知道，只要有一对同位角相等，就可以判定两直线平行。)

图2．5—2

问题1—5：用平行线判定公理判定某个图形中的两条直线平行，需要什么条件?

首先要在这个图形（可能是复杂图形或变式图形）中找出同位角，其次这两个角大小要相等。

如图2．5—3中，由∠1=∠2，可判定pM∥QN。学生容易误认为由∠3=

∠4，也可判定pM∥QN。而事实上，∠3与∠4不是同位角。

图2．5—3

问题2—1：根据课堂教学的实际情况，选择以下两种方案中的一种提出问题：

方案一：如果学生在前面教具演示中提出过“内错角相等，两直线平行”的猜想，则教师可因势利导，提出问题：你会应用刚刚学习的判定公

理说明刚才的猜想是正确的吗?

方案二：教师直接提出问题，如图2．5—4。根据平行线判定公理，由∠1=∠2可判定a∥b，那还有别的方法可以判定a∥b?也就是说只要具备什么条件，就可以断定∠l=∠2，从而判定a∥b呢?

（让学生观察、思考，若学生有困难，可提示学生同位角、内错角及同旁内角之间有着很紧密的联系，从而找出“条件”∠2＝∠3或∠2＋∠4=180°”。如果学生说出“∠2＋∠4＝180°”的条件，可把它作为下节课的引导性材料。）

图2．5—4

问题2—2：如图2．5—4，如果有∠2=∠3，怎样判定a∥b?

（让学生试述推理过程，教师板书如下：

∵∠3＝∠2（已知），

∠1=∠3（对顶角相等），

∴∠1=∠2。

{∵∠1=∠2（已证）}

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。

图2．5－4

对于上面推理过程作以下说明：

1．［〕内的“∵∠1=∠2”，是上一步推理得到的结论，通常可省略，这里写出来是让学生养成有根有据地推理，条理清晰；

2．第三步∠1=∠2的推出理由是“等量代换”，而不应视作没有理由；

3．上述过程把“内错角相等”转化为“同位角相等”，从而得到判定两直线平行的新方法，这种“转化”的思想十分重要，要让学生细致体会。）

问题2－3：你能用语言叙述这个判定方法吗?

（由学生口述，教师纠正，从而得出平行线判定公理的推论1“内错角相等，两直线平行”。）

问题2－4：结合图2．5－2，根据这个推论，填写下列空格：

∵∠____=∠____

∴a∥b

（要求学生写出∠2＝∠7，∠4＝∠5两种。）

[例题解析]

例如图2．5－5，BE是AB的延长线，DF是AD的延长线，∠CBF=∠A=∠C。

1．由∠CBF=∠A，可以判定哪两条直线平行?依据是什么?

2．由∠CBE=∠C，可以判定哪两条直线平行?依据是什么?

3．要证明AF∥BC需要哪些角相等?

4．要证明AE∥DC需要哪些角相等?

(本例题是对教科书第80页练习第3题的扩展。其中前两间是公理及推论的直接应用，而后两问的答案不唯一，要训练学生从不同的角度寻找答案，以拓宽学生的解题思路。如果学生接受情况较好，还可将本题扩展，如延长DC、BC或连结AC等，使图形复杂化，再让学生回答后两问。)

图2．5－5

〔小结〕

这节课从实践出发，得到了平行线判定公理，并且根据这个公理经过推理得到了判定两直线平行的另一种方法。不仅要知道这些结论，还要知道他们是怎么得到的，要正确地结合图形用符号语言表述公理和推论。

此外，在得出推论1及解答例题后两问的过程中，介绍了一些思考问题的方法，在今后的学习中十分有用。

［作业］

课本第80页练习第1、2题；第97页习题2．2A组第4、5题。