“定理和证明”教学设计

[教学目标]

1．知道公理和定理的概念，了解证明的必要性，能说出证明过程中推理的依据。

2．能说出前面学过的5个公理，熟悉综合法证明的格式。

此外，在练习的过程中加强逻辑推理训练，逐步培养学生的逻辑思维能力。

［引导性材料］

复习前一课学习的有关命题的知识。练习（口答）：

1．判断下列命题的真假：

（l）过两点有且仅有一条直线。

（2）如果两个角是同位角，那么这两个角相等。

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

（4）如果两个角互补，那么它们是邻补角。

（5）垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

2．（1）、（3）、（5）这三个真命题是如何得到的?有什么不同?

通过学生讨论，查找教科书，指出（1）是“公理”，（3）、（5）都是经过说理后得到的真命题。从而引出新课。

3．我们学习过哪些公理?是怎样验证它们的?

4．我们学过的哪些性质和判定是经过推理得到的?

（这两个问题的回答，可以让学生边翻书边回答，互相补充，不要求回答得很完整，能举出3～4个例子即可。学生不难解答这两个问题，这就为新课教学打下基础。

［知识产生和发展过程的教学设计］

在学生回答前面问题的基础上，给出公理、定理和证明的概念。

1．经过人们长期的实践活动总结出来的真命题称为公理。如“过两点有且只有一条直线”；“两点之间，线段最短”；“同位角相等，两直线平行”等，它们的正确性是经过对无数图形的观察、测量证实的，可以作为判定其他命题真假的根据。

2．经过推理得到的真命题叫做定理。如“对顶角相等”；“内错角相等，两直线平行”；“垂直于同一条直线的两直线互相平行”等，它们都是根据已知条件、定义或公理，经过推理得到的真命题。作为真命题，定理也可作为继续推理的依据。

3．除公理外，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断。这个推理的过程叫做证明。如教科书的例正，它包括已知、求证、证明等内容。注意：推理和证明是有区别的，推理是证明过程中的组成部分。

说明：本课内容比较抽象，理论性较强，在教学过程中注意多结合以前学过的公理、定理和证明的例子，一方面可以复习巩固学过的知识，另一方面也有助于对新知识的理解。

4．在例1的基础上，可以得到：

一个量用与它相等的量代替，叫做等量代换。

[例题解析]

例1：证明：两直线平行，内错角相等。

(分析：要证明这个关于平行线性质的一个定理，可以想到应用平行线的性质公理以及“对顶角相等”的性质。本题的推理过程比较简单，通过教师的讲解及书要给学生以示范。)

图2．10－1

如图2．10－－1，已知：直线a∥直线b，直线c与直线a、b相交。

求证：∠1＝∠2。

证明：∵a∥b（已知），

∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）。

∵∠1＝∠3（对顶角相等），

∴∠1＝∠2（等量代换）。

（讲授本例的目的是使学生了解什么是证明，了解证明几何命题的格式和步骤。讲解的时候要注重证明步骤、格式的教学。解题时要提醒学生注意以下几点：

（l）先要把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言。

（2）证明中的每一步都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、公理或已经学过的定理。在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内。

（3）有些理由，像“已知”、“已证”、根据定义（如垂直、平行的定义）以及等量代换，利用等式性质加减乘除等代数运算也可以不注理由。）

［练习］

课本第106页练习第l、2题。

注意：两个题图形中的角都可以用三个字母表示，为了看起来容易，都标明代号，以后证明中也可以这样。这样能使书写简单，看起来一目了然。

［小结］

复习一下定理、公理、证明的概念。

［作业］

课本第110页习题2．3A组第1(1)、(2)题，第3(1)、(2)、(3)题。

思考题：证明一个几何中的真命题需要哪些步骤呢?(要求学生结合课堂上的例题、练习及课后的作业作出归纳。)